Читать книгу «Порядок из хаоса» онлайн.

Рис. 11. Симметричная бифуркационная диаграмма. Х как функция параметра бифуркации l. При l<lс существует только одно стационарное состояние, которое устойчиво. При l>lс существуют два стационарных состояния при любом значении l (прежнее устойчивое стационарное состояние теряет устойчивость).

Рассмотрим бифуркационную диаграмму, изображенную на рис. 11. От предыдущей диаграммы она отличается тем, что в точке бифуркации появляются два устойчивых решения. В связи с этим, естественно, возникает вопрос: по какому пути пойдет дальнейшее развитие системы после того, как мы достигнем точки бифуркации? У системы имеется «выбор»: она может отдать предпочтение одной из двух возможностей, соответствующих двум неравномерным распределениям концентрации Х в пространстве (рис. 12, 13).

Рис. 12, 13. Два возможных пространственных распределения концентрации компоненты X, соответствующие двум ветвям на бифуркационной диаграмме (рис. 11). Рис. 12 отвечает «правой» структуре: концентрация Х в правой части выше, чем в левой. Рис. 13 отвечает «левой» структуре.

Каждое из этих распределений зеркально симметрично другому: на рис. 12 концентрация Х больше справа, на рис. 13 — слева. Каким образом система выбирает между правым и левым? В этом выборе неизбежно присутствует элемент случайности: макроскопическое уравнение не в состоянии предсказать, по какой траектории пойдет эволюция системы. Не помогает и обращение к микроскопическому описанию. Не существует также различия между правым и левым. Перед нами — случайные явления, аналогичные исходу бросания игральной кости.

Можно было бы ожидать, что при многократном повторении эксперимента при переходе через точку бифуркации система в среднем и половине случаев окажется в состоянии с максимумом концентрации справа, а в половине случаев — в состоянии с максимумом концентрации слева. Возникает другой интересный вопрос. В окружающем нас мире некоторые простые фундаментальные симметрии нарушены[153]. Кто не замечал, например, что большинство раковин закручено преимущественно в одну сторону? Пастер пошел дальше и усмотрел в дисимметрии, т. е. в нарушении симметрии, характерную особенность жизни. Как теперь известно, молекула самой важной нуклеиновой кислоты ДНК имеет форму винтовой линии, закрученной влево. Как возникает такая дисимметрия? Один из распространенных ответов на этот вопрос гласит: дисимметрия обусловлена единичным событием, случайным образом отдавшим предпочтение одному из двух возможных исходов. После того как выбор произведен, в дело вступает автокаталитический процесс и левосторонняя структура порождает новые левосторонние структуры. Другой ответ предполагает «войну» между лево- и правосторонними структурами, в результате которой одни структуры уничтожают другие. Удовлетворительным ответом на этот вопрос мы пока не располагаем. Говорить о единичных событиях вряд ли уместно. Необходимо более «систематическое» объяснение.

Недавно был открыт еще один пример принципиально новых свойств, приобретаемых системами в сильно неравновесных условиях: системы начинают «воспринимать» внешние поля, например гравитационное поле, в результате чего появляется возможность отбора конфигураций.

Каким образом внешнее (например, гравитационное) поле сказалось бы на равновесной ситуации? Ответ на этот вопрос дает принцип порядка Больцмана: все зависит от величины отношения — потенциальная энергия/тепловая энергия. Для гравитационного поля Земли эта величина мала. Чтобы достичь сколько-нибудь заметного изменения давления или химического состава атмосферы, нам понадобилось бы взобраться на достаточно высокую гору. Но вспомним ячейку Бенара. С точки зрения механики ее неустойчивость обусловлена повышением центра тяжести вследствие теплового расширения. Иначе говоря, в эффекте Бенара гравитация играет существенную роль и приводит к новой структуре, несмотря на то что толщина самой ячейки Бенара может достигать лишь нескольких миллиметров. Действие гравитации на столь тонкий слой жидкости было бы пренебрежимо малым в равновесной ситуации, но в неравновесной ситуации, вызванной градиентом температур, приводит даже в таком тонком слое к наблюдаемым макроскопическим эффектам. Неравновесность усиливает действие гравитации[154].

В уравнении реакции с диффузией включение гравитации скажется на диффузионном потоке. Как показывают подробные вычисления, влияние гравитации становится особенно ощутимым вблизи точки бифуркации невозмущенной системы. Это позволяет нам, в частности, утверждать, что очень слабые гравитационные поля могут приводить к отбору структур.

Рис. 14. «Вынужденная» бифуркация, индуцированная внешним полем. На диаграмме концентрация Х представлена как функция параметра l. В отсутствие внешнего поля произошла бы симметричная бифуркации, показанная пунктирной линией. Критическое значение параметра бифуркации обозначено lс. Устойчивая ветвь b) находится на конечном расстоянии от ветви a).

Рассмотрим снова систему с бифуркационной диаграммой, изображенной на рис. 11. Предположим, что в отсутствие гравитации, т. е. при g=0, мы имеем, как на рис. 12 и 13, асимметричную конфигурацию «снизу вверх» и ее зеркальное отражение — конфигурацию «сверху вниз». Оба распределения равновероятны, но если включить g, то бифуркационные уравнения изменятся, так как поток диффузии будет содержать член, пропорциональный g. В результате мы получим диаграмму, изображенную на рис. 14. Исходная бифуркационная диаграмма исчезнет, сколь бы малым ни было включенное гравитационное поле. Одна структура а) на новой диаграмме возникает при увеличении параметра бифуркации непрерывно, другая b) достижима лишь при конечном возмущении. Следуя по ветви а), мы ожидаем, что и система будет изменяться непрерывно. Наши ожидания оправдаются при условии, если расстояние S между двумя ветвями велико по сравнению с амплитудой тепловых флуктуации концентрации X. Происходит то, что мы называем «вынужденной» бифуркацией. Как и прежде, вблизи критического значения lс управляющего параметра может произойти самоорганизация. Но теперь одна из двух возможных структур предпочтительнее другой и подлежит отбору.

Важно отметить, что в зависимости от химического процесса, ответственного за бифуркацию, описанный выше механизм может обладать необычайной чувствительностью. Как уже упоминалось, вещество обретает способность воспринимать» различия, неощутимые в равновесных условиях. Столь высокая чувствительность наводит на мысль о простейших организмах, например о бактериях, способных, как известно, реагировать на электрические или магнитные поля. В более общем плане это означает, что в сильно неравновесной химии возможна «адаптация» химических процессов к внешним условиям. Этим сильно неравновесная область разительно отличается от равновесной, где для перехода от одной структуры к другой требуются сильные возмущения или изменения граничных условий.

Еще одним примером спонтанной «адаптивной организации» системы, ее «подстройки» к окружающей среде может служить чувствительность сильно неравновесных состояний к внешним флуктуациям. Приведем один пример[155] самоорганизации как функции флуктуирующих внешних условий. Простейшей из всех мыслимых химических реакций является реакция изомеризации ADB. В нашей модели вещество А может участвовать и в другой реакции: А+свет→A*→A+тепло (молекула А, поглощая свет, переходит в возбужденное состояние A*, из которого возвращается в основное состояние, испуская при этом тепло). Мы предполагаем, что обе реакции происходят в замкнутой системе, способной обмениваться с внешним миром только светом и теплом. В системе имеется нелинейность, так как превращение молекулы В в молекулу А сопровождается поглощением тепла: чем выше температура, тем быстрее образуется А. Кроме того, чем выше концентрация А, чем сильнее А поглощает свет и преобразует его в тепло, тем выше температура вещества А. Таким образом, А катализирует образование самого себя.

Можно ожидать, что концентрация А, соответствующая стационарному состоянию, возрастет с увеличением интенсивности света, и действительно так и происходит. Но, начиная с некоторой критической точки, мы сталкиваемся с одним из типичных сильно неравновесных явлений: сосуществованием множественных стационарных состояний. При одних и тех же условиях (например, интенсивности света и температуре) система может находиться в двух различных устойчивых стационарных состояниях, отвечающих двум различным концентрациям А. Третье (неустойчивое) стационарное состояние соответствует порогу между двумя устойчивыми стационарными состояниями. Сосуществование стационарных состояний порождает такое хорошо известное явление, как гистерезис. Но это еще не все. Если интенсивность света вместо того, чтобы быть постоянной, начнет случайным образом флуктуировать, то наблюдаемая нами картина резко изменится. Зона сосуществования двух стационарных состояний расширится, и при некоторых значениях параметров станет возможным сосуществование трех стационарных устойчивых состояний.

В таких положениях случайная флуктуация во внешнем потоке, часто называемая шумом, — отнюдь не досадная помеха: она порождает качественно новые типы режимов, для осуществления которых при детерминистических потоках потребовались бы несравненно более сложные схемы реакций. Важно помнить и о том, что случайный шум неизбежно присутствует в потоках в любой «естественной системе». Например, в биологических или экологических системах параметры, определяющие взаимодействие с окружающей средой, как правило, недопустимо считать постоянными. И клетка, и экологическая ниша черпают все необходимое для себя из окружающей их среды; влага, рН, концентрация солей, свет и концентрация питательных веществ образуют непрестанно флуктуирующую среду. Чувствительность неравновесных состояний не только к флуктуациям, обусловленным их внутренней активностью, но и к флуктуациям, поступающим из окружающей среды, открывает перед биологическими исследованиями новые перспективы.

Рис. 15. Явление «гистерезиса», возникающее, если значение параметра бифуркации b сначала возрастает, а затем убывает. Если система первоначально находится в стационарном состоянии, принадлежащем нижней ветви, то при возрастании b она продолжает оставаться на нижней ветви. При b=b2 происходит перескок: система скачком переходит из состояния Q в состояние Q', принадлежащее верхней ветви. И наоборот, если система первоначально находится в состоянии, принадлежащем верхней ветви, то при уменьшении b она продолжает оставаться на верхней ветви до b=b1, после чего скачком переходит из состояния Р в состояние Р'. Бистабильные режимы такого типа встречаются во многих областях науки и техники, например в лазерах, химических реакциях и биологических мембранах.

7. Каскады бифуркаций и переходы к хаосу

В предыдущем разделе мы занимались рассмотрением только первой, или, как предпочитают говорить математики, первичной, бифуркации, которая возникает, когда мы вынуждаем систему перейти порог устойчивости. Далеко не исчерпывая новые решения, которые при этом могут появиться, первичная бифуркация приводит к появлению лишь одного характерного времени (периода предельного цикла) или одной характерной длины. Для того чтобы получить всю картину пространственно-временной активности, наблюдаемой в химических или биологических системах, необходимо продвинуться по бифуркационной диаграмме дальше.

Мы уже упоминали о явлениях, возникающих в результате сложного взаимодействия огромного числа частот в гидродинамических или химических системах. Рассмотрим хотя бы ячейки Бенара, возникающие на определенном расстоянии от равновесия. При дальнейшем удалении от теплового равновесия конвективный поток начинает колебаться во времени. Чем дальше мы уходим от равновесия, тем больше частот появляется в колебаниях, пока наконец не произойдет переход в турбулентный режим[156]. Взаимодействие колебаний с различными частотами создает предпосылки для возникновения больших флуктуаций. Область на бифуркационной диаграмме, определяемая значениями параметров, при которых возможны сильные флуктуации, обычно принято называть хаотической. Иногда порядок, или когерентность, чередуется с тепловым хаосом и неравновесным турбулентным хаосом. Так происходит, например, в случае неустойчивости Бенара: если увеличивать градиент температуры, то конфигурация конвективных потоков усложнится, появятся колебания, а при дальнейшем увеличение градиента упорядоченная структура исчезнет, уступив место хаосу. Не следует смешивать, однако, равновесный тепловой хаос с неравновесным турбулентным хаосом. В тепловом хаосе, возникающем в равновесных условиях, все характерные пространственные и временные масштабы микроскопического порядка. В турбулентном хаосе число макроскопических пространственных и временных масштабов столь велико, что поведение системы кажется хаотическим. В химии порядок и хаос связаны между собой сложными отношениями: упорядоченные (колебательные) режимы чередуются с хаотическими. Такая перемежаемость, например, наблюдалась в реакции Белоусова—Жаботинского как функция скорости потока.

Во многих случаях довольно трудно провести четкую границу между такими понятиями, как «хаос» и «порядок». К каким системам следует отнести, например, тропический лес: к упорядоченным или хаотическим? История любого вида животных может показаться случайной, зависящей от других видов и флуктуаций окружающей среды. Тем не менее трудно отделаться от впечатления, что общая структура тропического леса, например все многообразие встречающихся в нем видов животных и растений, соответствует некоторому архетипу порядка. Какой бы конкретный смысл мы ни вкладывали в термины «порядок» и «хаос», ясно, что в некоторых случаях последовательность бифуркации приводит к необратимой эволюции и детерминированность характеристических частот порождает все большую случайность, обусловленную огромным числом частот, участвующих в процессе.

Сравнительно недавно внимание ученых привлек необычайно простой путь к хаосу, получивший название последовательность Фейгенбаума. Обнаруженная Фейгенбаумом закономерность относится к любой системе, поведение которой характеризуется весьма общим свойством, а именно: в определенной области значений параметров система действует в периодическом режиме с периодом Т; при переходе через порог период удваивается и становится равным 2Т, при переходе через следующий порог период в очередной раз удваивается и становится равным 4Т и т. д. Таким образом, система характеризуется последовательностью бифуркаций удвоения периода. Последовательность Фейгенбаума — один из типичных маршрутов, ведущих от простого периодического режима к сложному апериодическому, наступающему в пределе при бесконечном удвоении периода. Фейгенбаум открыл, что этот маршрут характеризуется универсальными постоянными, значения которых не зависят от конкретных особенностей механизма, коль скоро система обладает качественным свойством удвоения периода. «Большинство поддающихся измерению свойств любой такой системы в этом апериодическом пределе может быть определено, по существу, без учета каких-либо специфических особенностей уравнения, описывающего каждую конкретную систему...»[157]

В других случаях (например, в таком, который представлен на рис. 16) эволюция системы содержит как детерминистические, так и стохастические элементы.

Рис. 16. Временны'е колебания концентрации иона Вг- в реакции Белоусова—Жаботинского. На диаграмме схематически изображена последовательность режимов, соответствующая качественным различиям. Все режимы изображены упрощенно. Экспериментальные данные свидетельствуют о существовании гораздо более сложных последовательностей режимов.

На рис. 17 мы видим, что при значении управляющего параметра порядка l6 система может находиться в большом числе устойчивых и неустойчивых режимов. «Историческая» траектория, по которой эволюционирует система при увеличении управляющего параметра, характеризуется чередованием устойчивых областей, где доминируют детерминистические законы, и неустойчивых областей вблизи точек бифуркации, где перед системой открывается возможность выбора одного из нескольких вариантов будущего. И детерминистический характер кинетических уравнений, позволяющих вычислить заранее набор возможных состояний и определить их относительную устойчивость, и случайные флуктуации, «выбирающие» одно из нескольких возможных состояний вблизи точки бифуркации, теснейшим образом взаимосвязаны. Эта смесь необходимости и случайности и составляет «историю» системы.

Рис. 17. Бифуркационная диаграмма: стационарные решения как функции параметра бифуркации l. Если l<l1, то при любом значении l существует только одно стационарное состояние. Множество таких стационарных состояний образует ветвь а). Если же l=l1, то становятся возможными два других множества стационарных решений (ветви b) и b')).

[153] См.: Gardner M. The Ambidextrous Universe.—N. Y.: Charles Scribner's Sons, 1979. [Русскии перевод: Гарднер М. Этот правый, левый мир.—М.: Мир, 1967. Серия «В мире науки и техники».]

[154] Kondepudi D. К., Prigogine I.. Physica, 1981, vol. 107А, р. 1—24; Kondepudi D. К. Physica, 1982, vol. 115A, p. 552—566. Вполне возможно, что химия позволяет визуализовать в макроскопическом масштабе нарушение четности в слабом взаимодействии: Kondepudi D К, Nelson G. W. Phys. Rev. Lett., 1983, vol. 50, 14, p. 1023—1026.

[155] Lefever R., Horsthemke W. Multiple Transitions Induced by Light Intensity Fluctuations in Illuminated Chemical Systems. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1979, vol. 76, p. 2490—2494. См. также: Horsthemke W., Malek MansourM. Influence of External Noise on Nonequilibrium Phase Transitions. Zeitschr. fur Physik B, 1976, vol. 24, p. 307—313; Arnold L., Horsthemke W., Lefever R. White and Coloured External Noise and Transition Phenomena in Nonlinear Systems. Zeitschr. fur Physik B, 1978, vol. 29, p. 367—373; Horsthemke W. Nonequilibrium Transitions Induced by External White and Coloured Noise.—In: Dynamics of Synergetic Systems. /Ed. H. Haken.—Berlin: Springer Verlag, 1980. Относительно приложения к биологической проблеме см.: Lefever R., Horsthemke W. Bistability in Fluctuating Environments: Implication in Tumor Immunology. Bulletin of Mathematic Biology, 1979, voL 41.

[156] Swinney H. L., Gollub J. P. The Transition to Turbulence, Physics Today, 1978, vol. 31, 8, p. 41—49.

[157] Feigenbaum M. J. Universal Behavior in Nonlinear Systems. Los Alamos Science, 1980, 1, p. 4—27. [Русский перевод: Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. Успехи физических наук, 1983, т. 141, вып. 2, с. 343—374.]