История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности: читать начало книги онлайн

Платон игнорировал Демокрита, зато Аристотель очень тепло отзывался о его идеях относительно перемен и роста. Столетие спустя Архимед ссылался на величайшее математическое открытие Демокрита: что объем конуса и пирамиды равен соответственно 7₃ объемов цилиндра и призмы, имеющих ту же площадь основания и ту же высоту; он, правда, добавлял, что теоремы Демокрита доказаны не им, а (позже) Евдоксом. Как Демокрит сделал свое открытие? Вероятно, он воспользовался несовершенным и интуитивным методом компоновки, разрезав пирамиду (или конус) на большое количество параллельных слоев. К этому мы вернемся, когда будем обсуждать открытие Евдокса и применение метода перебора.

Начала перспективы в применении к сценографии Витрувий приписывал Демокриту, а также Агатарху и Анаксагору. Его предположения правдоподобны, но не доказаны. Ясно, что проблемы перспективы приходилось решать сценографам, но достойные ответы можно было найти эмпирическим путем.

Мы подошли к величайшему математику своего века, первому человеку, который прославил имя Гиппократ. Почти каждый образованный человек знаком с этим именем, но в первую очередь вспоминает другого человека – отца медицины Гиппократа Косского. Имя Гиппократ в Греции встречается довольно часто, но примечательно, что два самых ярких его носителя были современниками и родились на одной и той же группе островов, Спорады, расположенных неподалеку от побережья Малой Азии. Математик, который был старше, родился на Хиосе и жил в Афинах в третьей четверти V в. Врач принадлежал к следующему поколению; он был еще ребенком, когда математик находился в расцвете сил. Пик его деятельности пришелся на рубеж веков. Он родился на острове Кос (остров из группы Додеканес, или Южные Спорады). Мы уделим ему должное внимание в следующей главе, сейчас же необходимо было его просто представить и ненадолго поставить рядом с его старшим современником. Очень надеюсь, что читатели этой книги запомнят: Гиппократов было два, и их достижения равно выдающиеся, но настолько различны, что сравнивать их невозможно. И хотя нельзя сказать, что второй Гиппократ более велик, чем первый, однако большинство людей помнят именно его, а его старшего современника забыли.

Итак, Гиппократ пришел в Афины примерно в середине века; традиционно считается, что причиной его отъезда с родины стала потеря владений и попытка их вернуть. По одной легенде, он был купцом, чей корабль захватили пираты; по другой (которую рассказывает Аристотель), он был геометром, у которого сборщик пошлин в Византии отобрал много денег «из-за его глупости». Конечно, математиков (от Фалеса до Пуанкаре) часто обвиняют в том, что они не приспособлены к повседневной жизни, но такие легенды любопытны в другом отношении. Они помогают мельком взглянуть на другие стороны жизни в Древней Греции: купцы, пираты, коварные таможенники… Очевидно, Гиппократ вначале был не только математиком, но и купцом. Подобное сочетание не было чем-то несовместимым. Потеряв имущество, он посвятил себя математике и одним из первых стал учить за деньги. В самом деле, почему бы и ему не просить плату за свой труд, как софистам? Возможно, и он называл себя софистом, хотя специализировался на математике.

Прежде чем переходить к его трудам, необходимо вспомнить еще одну легенду, очень типичную для интеллектуального климата того времени. Афинских математиков тогда занимали три знаменитые задачи: 1) квадратура круга; 2) трисекция угла; 3) удвоение куба. Как возникли три эти задачи? Первая очень древняя. В то время невозможно было знать, что точного ее решения не существует. Две другие задачи не столь обычны. Что касается третьей задачи, распространялось по меньшей мере две легенды, которые приписывают Эратосфену. Достаточно пересказать одну из них. Оракул велел жителям Делоса, страдавшим от чумы, увеличить вдвое некий алтарь, имевший форму куба; поэтому задача по-другому называется делосской или делийской. Легенда имеет все черты придуманной постфактум, и, насколько мне известно, ни на Делосе, ни в других местах никогда не было кубического алтаря. Более простое объяснение заключается в том, что некоторые математики наверняка желали обобщить задачу из области планиметрии. Для того чтобы удвоить квадрат, достаточно построить новый квадрат на диагонали первого. Нельзя ли найти сходное правило для куба? Задача оказалась не столь простой, как выглядела вначале. Выделение трех задач из бесконечного множества остальных – еще одно доказательство гениальности греков, ибо все они сочетали внешнюю простоту с внутренне присущими трудностями очень высокого порядка. Их можно решить лишь приблизительно; вторую и третью задачу невозможно решить простыми геометрическими способами (то есть с помощью линейки и циркуля). Тем не менее греческие математики V в. предложили теоретические решения.

Гиппократ не занимался второй задачей, но благодаря ему мы имеем неполные решения первой и третьей. Его попытки найти квадратуру круга привели его к открытию так называемых луночек – серповидных фигур, ограниченных двумя дугами окружностей. Он нашел три (из пяти) вида луночек, для которых можно построить равновеликий квадрат, но решить задачу в общем виде ему не удалось. Открытие Гиппократа доказывало, что по крайней мере некоторые криволинейные фигуры поддаются квадрированию.

Рис. 57. Луночки Гиппократа Хиосского

Вот простейший пример Гиппократовых луночек. Представьте полусферу АВС, вписанную в полукруг с центром О (рис. 57). Проведем еще один полукруг, взяв диаметром АВ. Два полукруга относятся друг к другу как квадраты их диаметров: АС2 = 2АВ2. Поэтому половина большего полукруга равна меньшему. Уберите сегмент, общий для обоих, и оставшиеся области, а именно луночка и треугольник АВО, равны.

Это достаточно просто, однако подразумевает знание теоремы, по которой круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров[52]. Если Гиппократ нашел площадь этой луночки, следует допустить, что теорема была ему известна. Возможно, он знал ее интуитивно; по мнению Евдема, он мог ее доказать, но, если так, нам неизвестно, как он ее доказывал.

Труды Гиппократа по квадрированию луночек очень важны в другом отношении: это не только фрагмент эллинской (доалександрийской) математики, которая дошла до нас во всей своей целостности, хотя передавалась лишь косвенно и очень медленно. Работа Гиппократа была включена в историю геометрии Евдема (IV – 2 до н. э.), сохранилась в комментарии Симпликия к Аристотелевой физике (VI – 1). Между последним и Гиппократом прошла почти тысяча лет! Вот лишнее доказательство того, как мало нам известно о древнегреческой математике и каким осведомленным должен быть историк.

Решение Гиппократом третьей задачи, удвоения куба, также интересно своими последствиями, ибо оно доказывает, что он знал сложные пропорции. Это знание пришло от чисел и интуитивно перешло на линии.

Если принять сторону данного куба за а, необходимо вычислить х, чтобы х3 = 2а3. Задача решается нахождением двух средних пропорциональных в непрерывной пропорции между а и 2а: а/х =х/у = у/2а; тогда х2 = ау, у2 = 2ах; отсюда х4 = 2а3х, или х3 = 2а3.

К середине V в. до н. э. было сформулировано столько геометрических теорем и решено столько задач, что все насущнее становилось требование расположить все эти данные в строгом логическом порядке. Это подразумевало не только классификацию уже полученных результатов, но, что еще важнее, упрочение доказательств. Во многих случаях (что проиллюстрировано выше теоремой Евклида) знание было интуитивным или доказательство, если оно и было найдено, не удалось передать потомкам. Если поставить каждую задачу на свое логическое место, пробелы обнаружатся сразу. Геометрическое здание, насколько его можно возвести, было бы прочнее, и можно было с большей определенностью понять, что делать, чтобы довести строительство до завершения и логического совершенства. Похоже, что Гиппократ одним из первых приступил к этой задаче, то есть он был первым предвестником Евклида – не только как первооткрыватель отдельных теорем, но и как строитель геометрического монумента, который позже назовут «Началами».

Если текст Гиппократа о квадратуре круга, переданный нам Симпликием, действительно таков, каким он его написал, значит, Гиппократ – первый известный нам математик, который использовал буквы в геометрических фигурах и таким образом сделал возможным недвусмысленное описание таких фигур. Возможно, пятиугольник Пифагора с вершинами, обозначенными буквами, старше Гиппократа, но использование фигур, обозначенных буквами, для упрощения геометрических рассуждений – совсем другое дело, чем использование букв в символических целях. Таким образом, Гиппократ значительно облегчил переписку рукописей. Благодаря буквенным обозначениям фигуры, которые, вероятно, трудно было рисовать аккуратно, можно было опустить. Они не являются незаменимыми, ибо читатель может без труда воссоздать их на основе текста. Конечно, применение Гиппократом букв было еще не таким простым и ясным, как у Евклида. И все же это было очень важное начинание, необходимое для будущего прогресса математики.

Гиппократ пишет «линия, на которой имеется АВ» или «точка, на которой имеется К», в то время как Евклид, а следом за ним и мы пишем просто «отрезок АВ» и «точка К». Такая разница то и дело встречается в истории математических записей и, можно сказать более общо, в истории науки. Изобретателю редко удается описать свое изобретение простейшим способом. Для того чтобы довести изобретение до конца, нужен другой человек или много людей, не таких умных, как изобретатель, зато более практичных. Так, изобретение Гиппократа могли усовершенствовать другие учителя или даже ученики, которые стали писать короче «отрезок АВ» из чистой лени.

Если Гиппократ в самом деле написал первый учебник геометрии, что не только возможно, но и вполне вероятно, он обязан был сжать доказательства. Согласно утверждению Прокла, Гиппократ изобрел метод геометрической редукции (apagoge), то есть переход от одной задачи или теоремы к другой, решение которой влечет за собой решение первой.

Достижения Гиппократа Хиосского были значительными, более того, настолько крупными, что его можно назвать отцом геометрии на тех же основаниях, что Гиппократа Косского называют отцом медицины. И все же лучше избегать подобных метафор, ибо нет абсолютных отцов, кроме Отца нашего Небесного.

По свидетельству Прокла (V – 2), Энопид был немного моложе Анаксагора; он ставит его впереди Гиппократа и Феодора. Можно заключить, что расцвет Энопида пришелся на третью четверть V в. Интересно отметить, что он был не только современником Гиппократа, но и его земляком. Должно быть, они познакомились на Хиосе или в Афинах. Едва ли для нас важно, был ли он моложе или старше Гиппократа, ибо значение имеет хронологический порядок открытий, который отличается от хронологического порядка дат рождения; одним лучше работается в молодости, другим в старости.

Энопид больше прославился как астроном, а не как математик, поэтому мы уделим ему больше внимания во втором разделе данной главы. Его вклад в математику скромен и все же важен. Он первым решил следующие задачи: 1) о восстановлении перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку; 2) о построении угла, равного данному.

Поскольку все могут решить такие задачи приблизительно, то, что решение приписывают Энопиду, означает, что он первым показал, как решать такие задачи с помощью линейки и циркуля. Без решения таких задач невозможно было создание «Начал». Однако Прокл утверждает, что Энопид решил первую задачу в астрономических целях; кроме того, по словам Прокла, Энопид использовал старое название для перпендикуляра (cata gnomona, а не orthios). Все это подтверждает переходный характер того периода: геометрические знания постепенно выстраивались и оформлялись, «Начала» находились в процессе создания.

Гиппий родился в Элиде, исторической области на северо-западе Пелопоннеса. Элида славилась коневодством и считалась почти священной для греков благодаря Олимпийским играм, которые проходили там каждый четвертый год на равнинах Олимпии. Гиппий родился около 460 г. и прославился гораздо больше старших Гиппократа и Энопида, потому что много странствовал по всей Греции, читал публичные лекции и преподавал. Он был своего рода странствующим софистом, деятельностью которого руководили любовь к славе и деньгам. Гиппий готов был обсуждать любую тему, но особенно интересовался математикой и наукой. Попав в Спарту, он испытал разочарование: спартанцы не настолько любили науку, чтобы вознаграждать лекторов. Он увековечен в двух диалогах Платона, «Гиппий больший» и «Гиппий меньший», где выступает как софист, тщеславный и надменный. Хотя Платон создал довольно непривлекательный образ, математические достижения Гиппия бесспорны благодаря единственному, поистине поразительному открытию.

Рис. 58. Квадратриса Гиппия Элидского

Чтобы решить задачу трисексции угла, Гиппий изобрел новую кривую, первый в истории пример трансцендентной кривой – ее невозможно было начертить с помощью какого-либо инструмента, но лишь точку за точкой. То есть в то самое время, когда лучшие математики старались консолидировать геометрические сведения, чтобы возвести стройное здание, Гиппию хватило смелости отойти от общих усилий и начать исследовать таинственное неизвестное за пределами этого здания.

Кривую, изобретенную Гиппием, назвали квадратрисой (название появилось позже). Она получается следующим образом (рис. 58). Допустим, у нас есть квадрат ABCD (со стороной а), в который вписан сектор четверти круга с центром в точке А. Предположим, что радиус поворачивается с постоянной скоростью из положения АВ в положение AD и что в то же время сторона ВС движется к AD с постоянной скоростью, оставаясь параллельной самой себе. Место точки пересечения (Ги Z) двух линий и будет квадратрисой. Далее, < BAD: < EAD получается дуга BD: дугу ED = В А: FH. Допустим, вектор AF соединяет центр А с точкой F кривой; пусть ее длина будет ρ и она образует угол ϕ с AD; в таком случае, a/(ρ sin ϕ) = (π/2)/ϕ.

С помощью полученной кривой можно произвести трисекцию любого угла, обозначенного ϕ. Давайте разделим отрезок FH на две части в пропорции 2: 1, чтобы FF1 = 2F1H. Затем проведем линию B″C″, которая разрезает FH на F1, а кривую на L, и соединим точки AL. Угол NAD равен 1/3 ϕ.

С помощью этой кривой можно разделить любой угол в любом соотношении; достаточно (в нашем примере) разделить отрезок FHb этой пропорции и продолжить вычисления, как показано выше.

Ту же кривую столетие спустя применяли Динострат (IV – 2 до н. э.) и другие для вычисления квадратуры круга, и именно по этой причине кривая получила название квадратрисы.

Помимо математика Феодора Киренского, был еще один Феодор Киренский, гораздо лучше известный всем, кроме математиков; иногда его называют Феодором Атеистом. Он был учеником Аристиппа Киренского, а тот, в свою очередь, был учеником Сократа. Феодора Атеиста изгнали из Кирены; некоторое время он жил в Александрии. В конце жизни ему разрешили вернуться в родной город, где он и умер (примерно в конце IV в.). Иными словами, два Феодора Киренских не были современниками. Математик жил во второй половине V в., а философ – во второй половине IV в.

[52] Евклид. Начала. Кн. II.