Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

_{а — некое событие, происходящее на прямой линии (оси х), изображено точкой. Расстояние вдоль оси х показывает, где произошло событие, а высота показывает, когда оно произошло. Событие Р предшествует по времени событию Q. Для некоторой пары событий можно утверждать, что Р является причиной Q;}

_{б — для движущегося наблюдателя начало отсчета переносится вместе с ним. В галилеевой системе он пользуется тем же масштабом времени, что и неподвижный наблюдатель.}

_{в — при преобразованиях Галилея лилии каждого часа для двух наблюдателей одни и те же и параллельны линии t = 0;}

_{г — преобразования Лоренца поворачивают оси одной координатной системы пространства-времени по отношению к другой (хотя и на пренебрежимо малый угол, за исключением случаев, когда относительная скорость ε и ε' приближается к c).}

Спроектируем точку на оси х и у (фиг. 470).

Повернем теперь оси на угол A (вокруг оси z). По отношению к новым осям координаты точки будут x', у'. Обозначим символом s наклон новой оси х, так что s = tg А. Теперь видно, что

x' = (x + b)∙cos A = (x + y∙tg A)∙cos A =

= (x + sy)/sec A = (x + sy)/√(1 + tg2 A),

т. е.

x' = (x + sy)/√(1 + s²)

Подобным же образом

y' = (y — sx)/√(1 + s²)

Преобразования при простом вращении осей показывают, что квадратный корень играет здесь ту же роль, что и в преобразованиях Лоренца. Действительно, мы получим лоренцеву форму преобразований, если вместо у возьмем t, умноженное на постоянную с и на i [квадратный корень из (—1)], а вместо наклона s возьмем i(v/c). Если y = ict, y' = ict', a s = iv/c, то преобразования вращения превратятся в преобразования Лоренца. Проверьте это. Отсюда видно, что преобразования Лоренца можно рассматривать как расслоение пространства-времени линиями разного наклона для разных наблюдателей.

Инвариантный «интервал» между двумя событиями

Определим «интервал» между двумя событиями (x1, t1) и (x2, t2) по теореме Пифагора:

R² = (x₁ — x₂)² + (ict₁ — ict₂)²

Затем можно записать выражение для «интервала» R' для другого наблюдателя, который в своих координатах связывает те же два события в точках (x'1, t'1) и (x'2, t'2). Воспользуемся преобразованиями Лоренца и выразим R' через координаты первого наблюдателя. Тогда мы обнаружим, что R' совпадает с R. Преобразования Лоренца оставляют «интервал» неизменным. Это и составляет утверждение теории относительности — измерения с всегда дают одну и ту же ее величину.

Роль скорости с иллюстрируется историей, предложенной Джоном А. Уилером. Допустим, что обитатели некоего острова проводят все свои измерения в прямоугольной системе координат, но расстояние по оси, идущей с севера на юг, они измеряют в километрах, а с запада на восток — в метрах. Затем неожиданный сдвиг магнитного поля Земли на угол А вынуждает их повернуть свои оси в новом направлении. Однако они по-прежнему продолжают мерить расстояния С'—Ю' в километрах, а 3'—В' в метрах. Попытавшись вычислить расстояние между двумя точками по теореме Пифагора R2 = (Δx)2 + (Δy)2, они обнаруживают, что в новых координатах R стало другим. Затем они открывают, что для обоих наборов осей значение R получается одним и тем же (которое к тому же полезно), если определить R2 = (Δx)2 + (1000∙Δy)2. Этот «таинственный» множитель 1000 соответствует c в релятивистском интервале. Вывод таков: с не столько таинственная предельная скорость, сколько множитель, связанный с единицами измерения, который говорит, что время и расстояние не отличаются в корне друг от друга, а образуют однородное множество, в котором и то и другое можно измерять метрами.

Существует ли система отсчета, связанная с неподвижным пространством?

Итак, мы построили специальную теорию относительности с ее новой геометрией и физикой пространства и времени, с ее часами и метрами (основными приборами физики), которые своими изменениями при переходе в новую систему открывают универсальный характер и постоянство скорости света — предел скорости движущихся тел — и выявляют единую форму физических законов для всех наблюдателей, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью, тем самым безвозвратно сокрушая наши надежды на всякое абсолютное движение и системы отсчета, связанные с неподвижным пространством, вернее, объявляя вопрос о существовании таких систем лишенным всякого смысла.

Высшая ценность математики как языка науки. Математическая форма и красота

Язык алгебры правдив, точен и даже плодотворен, но не обречен ли он навечно оставаться скучной, неинтересной прозой, никогда не способной подняться до высот поэзии? Большинство математиков отвергают это, считая математику прекрасной. Нужно научиться извлекать наслаждение из ее формы и элегантности, как и в случае поэзии. В качестве примера покажем, как можно придать красоту системе двух уравнений. Начнем с системы

С помощью простых уловок можно избавиться от у и найти х = 3, а после этого y = 1. Но это слишком частный пример. Давайте обобщим его, заменив коэффициенты 2, 3, 9 и т. д. буквами а, Ь, c и т, д. Таким образом,

Потрудившись немного, находим x = (еc — fb)/(ae — db). Затем, чтобы определить у, требуются новые ухищрения. Но это дает нам возможность решить, как прежнее, так и все подобные ему уравнения простой подстановкой числовых коэффициентов а, b, с и т. д. Если нам не нужно решать множество таких уравнений, вряд ли на это стоило бы тратить время и до поэзии здесь далеко как до неба. Но давайте рассуждать более систематично. Давайте считать х и у однородными вещами и отметим это сходство, переименовав их x1 и х2. Чтобы еще больше подчеркнуть это сходство, будем писать а1, a2, а0 вместо a, b, c и соответственно a1x1 + а2x2 = a0. Кроме этого, у нас есть коэффициенты второго уравнения. Можно обозначить их а'1 и т. д. Но и в этом случае оба уравнения не будут вполне симметричными. Поэтому обозначим первый набор коэффициентов а'1 т, д., а второй а''1 и т. д. Тогда

Эта запись выглядит изящной, но много ли в таком изяществе толку? Разрешим уравнение относительно х1. Получим

а вот и толк: нам не нужно разрешать уравнение относительно x2 или y. Симметрия сразу дает нам ответ. Заметьте, что х1 и х2 (старые х и у) и; их коэффициенты отличаются только индексами 1 и 2. Если мы всюду заменим индексы 1 на 2, получится то же самое уравнение, а следовательно, и те же решения. Произведя эту замену в решении

мы получим

Итак, мы без труда получили результат для х2 (старого у). Экономия как будто небольшая, но представьте себе, как увеличилась бы сложность, если бы мы имели дело, скажем, с пятью уравнениями и пятью неизвестными. В такой симметричной записи системы мы просто решаем относительно одного неизвестного, а остальные четыре решения пишем исходя из соображений симметрии. Такая запись проста, экономична и красива с точки зрения математики. Более того, новая запись уравнений и ответов обща и универсальна. В некотором смысле — она ковариантна. Такая симметричная запись созвучна идеям Максвелла и Эйнштейна.

Это лишь небольшой шаг на пути поиска поэзии математического языка — всего лишь подходящий размер стиха. Следующим шагом должны быть не симметричная запись, а симметричные методы, например «детерминанты». Когда профессиональный математик разрабатывает обоснования доказательства своих методов, он создает логические построения и пишет выражения, которые для него столь же великолепны, как и лучшие из стихов.