Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Выберем три из них, касающиеся друг друга, и построим две соответствующие касательные окружности (их существование следует из теоремы Аполлония). В конечном итоге, с учетом повторений, получим шесть новых окружностей. Вкупе с пятью исходными имеем 11 окружностей (см. рисунок слева внизу). Повторим построение для этих 11 окружностей, затем — для окружностей, построенных на следующем этапе (см. рисунок справа внизу), и так далее до бесконечности. Полученные окружности носят название «ковер Аполлония» и представляют собой пример фрактала.

Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.

Сложно представить, что неимоверно сложный ковер Аполлония образуется простым построением окружностей, касающихся друг друга. Если читатель использует воображение, то увидит, что каждая окружность на ковре Аполлония находится среди бесконечного множества касательных окружностей, за исключением внешней, которая содержит в себе все прочие окружности. Более того, на любой дуге любой окружности, сколь малой бы она ни была, находится бесконечно много касающихся ее окружностей. Стандартное обозначение размерности абсолютно неприменимо для описания ковра Аполлония: было бы излишне говорить, что эта кривая имеет размерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость. Тем не менее, учитывая сложность этой кривой, в которой произвольной дуги любой окружности касается бесконечное множество окружностей, было бы преуменьшением сказать, что ее размерность равна 1. Вычислить точную размерность Хаусдорфа для ковра Аполлония невероятно сложно. На данный момент известно лишь ее приближенное значение, равное 1,305688.

Этот ковер Аполлония колоссальных размеров изобразил художник Джим Деневан в пустыне штата Невада.

Пример на основе треугольника

Построим другой фрактал, для которого можно точно определить размерность Хаусдорфа. Это кривая Коха, названная в честь шведского математика Нильса фон Коха, определившего ее в 1906 году. Существует несколько разновидностей этой кривой.

Мы построим кривую Коха, взяв за основу равносторонний треугольник. Для этого разделим каждую его сторону на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Получим шестиконечную звезду. Повторим построение снова, то есть разделим каждую из двенадцати сторон звезды на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Для построения кривой Коха эти действия нужно повторить бесконечное число раз.

Четыре первых этапа построения кривой Коха.

Теперь представьте, что кривая Коха — это дорога. Рассмотрим две любые точки на этой кривой (представьте, что это две деревни, расположенные у дороги). Сядем в воображаемую машину и поедем из одной деревни в другую вдоль кривой. Какое расстояние покажет счетчик пробега в конце пути? Если читатель ответит, что расстояние будет зависеть от выбранных точек кривой, то ошибется: независимо от того, какие точки мы выберем, пройденное расстояние всегда будет равно бесконечности.

Иными словами, любой участок кривой Коха имеет бесконечно большую длину — она содержит так много поворотов, что проехать по ней от начала до конца невозможно (см. врезку на следующей странице). Похожими свойствами обладает дорога, проходящая вдоль побережья Галисии в Испании. Расстояние, отделяющее устье реки Миньо и мыс Эстака де Барес, по прямой составляет чуть больше 200 километров. Но попытайтесь проделать этот путь, следуя вдоль побережья, и он покажется вам бесконечным: автомагистраль будет петлять возле каждой реки, идти в объезд всех гор, мысов и заливов. Десять километров, разделяющие устье реки и мыс, превращаются в сто и даже больше, и путь кажется бесконечным. Именно это (пусть и в несколько преувеличенном виде) произойдет, если мы попытаемся проехать вдоль кривой Коха.

* * *

* * *

Как и в случае с ковром Аполлония, стандартная размерность совершенно не подходит для описания кривой Коха: нельзя говорить, что эта кривая имеет размерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость; однако учитывая сложность этой кривой, произвольный участок которой имеет бесконечно большую длину, было бы ошибкой полагать, что ее размерность равна 1. Размерность Хаусдорфа позволяет в точности понять, в какой степени кривая Коха сочетает в себе кривую и поверхность. Ее размерность равна ln4/lnЗ (см. врезку на следующей странице).

Мандельброт показал, что геометрия фракталов может быть невероятно сложной, однако очень часто эту сложность порождает простое подобие различных частей кривой, сохраняющееся вне зависимости от масштаба.

* * *

* * *

Фракталы — редкие, удивительные множества, которые, как «кажется», далеки от привычных нам физических ощущений. Мы взяли слово «кажется» в кавычки, поскольку фракталы присутствуют повсеместно, мы видим их так часто и настолько привыкли к их особенностям, что даже не распознаем их. В природе фрактальная геометрия обнаруживается буквально повсюду. Береговая линия Испании или Норвегии, изрезанная фьордами, точнее всего описывается именно фрактальной кривой, подобной кривой Коха. Ничто не описывает сложную сеть нейронов нашего мозга лучше, чем фракталы. Именно математический взгляд и острота взора Хаусдорфа и Мандельброта позволили увидеть, как часто фракталы встречаются в природе.

Фракталы — это не только математические объекты; они присутствуют и в окружающем мире. Слева — аэрофотосъемка норвежских фьордов, справа — фрагмент фрактала Мандельброта.

* * *

* * *

Среди многочисленных примеров использования фракталов мы расскажем об одном, занимающем поистине особое место, в котором фракталы связаны с абстрактным экспрессионизмом Джексона Поллока.

Поллок был художником непростой судьбы, он злоупотреблял алкоголем и так далее — все в соответствии со стереотипом. Погиб в автомобильной катастрофе в 1956 году, когда ему было всего 44 года. Меценатом Поллока стала Пегги Гуггенхайм. «Современный художник, — как-то сказал Поллок, — не может изобразить эпоху самолетов, атомных бомб и радио в старом стиле Возрождения. Каждая эпоха имеет свою технику». Верный этой максиме, он в середине 1940-х основал новое направление в живописи — абстрактный экспрессионизм. Свои картины он рисовал на больших полотнах, используя созданную им технику разбрызгивания красок.

Джексон Поллок за работой в своей студии. Конец 1940-х.