Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Повторим наш мысленный эксперимент, в котором мы обращались к случайному прохожему. На этот раз зададим ему два вопроса. Сначала мы попросим его сгруппировать попарно следующие слова: «литература»/«математика» и «страсть»/«расчетливость». Затем попросим нашего собеседника рассказать о том, как, по его мнению, связаны математика и человеческая природа.

Отвечая на первый вопрос, большинство свяжет литературу со страстью, а математику — с расчетливостью. Нет никаких сомнений и в том, что прохожий скажет: математика и человеческая природа очень далеки друг от друга. Возможно, этот же ответ дадут и многие математики. Математика известна как совокупность абстракций, которые почти или никак не связаны с чувствами. Однако математика — продукт нашего разума в самом чистом виде, и в этом с ней не сравнится почти никакое другое творение человека. Логическая структура нашего разума — важнейшая характеристика человеческого состояния: именно наш мозг в немалой степени определяет то, какие мы есть.

Поэтому неудивительно, что внешность может быть обманчива.

Прежде всего напомним, что благоразумие, согласно толковому словарю, это «рассудительность, обдуманность в поступках», в то время как «страсть» — это «сильно выраженное чувство, воодушевленность» и «крайнее увлечение, пристрастие к чему-либо». Многие не связывают страсть с математикой, но она подобна полю битвы, на котором разгораются сражения между благоразумием и страстью. Мы, математики, знаем, что математика — это неустойчивое равновесие между благоразумием и страстью, тончайшая смесь трезвого расчета и крайнего увлечения, сильное, опьяняющее чувство. Поэтому в поисках доказательства математик руководствуется точным расчетом, который является неотъемлемой чертой строжайшего логического мышления. Однако в моменты, когда математик стремится совершить открытие или сражается с задачей, его охватывает возбуждение.

Предметом описания литературы и одновременно ее источником знаний служит человеческая природа, непреходящая борьба страстей и здравого смысла. Поэтому неудивительно, что большинство связывает литературу и страсть. Однако я осмелюсь заявить, что в этой борьбе между благоразумием и страстями математика играет далеко не последнюю роль. Математика может оказаться удивительно полезной: она способна помочь нам лучше познать себя и глубже понять человеческую природу.

Это звучит странно, и наш воображаемый прохожий усомнится в том, что математика может помочь людям познать себя. Наверняка многие ученые, которым известны тайны этой науки, также не понимают, как математика способна осветить дно глубокого колодца, которому подобна природа человека. Чтобы возразить скептикам, отмечу, что математике действительно под силу нечто подобное, если рассмотреть ее в нужном контексте. К примеру, под контекстом теоремы мы понимаем загадки истории, сопровождавшие автора или авторов этой теоремы: тех, кто выдвинул теорему, доказал или опроверг ее, или тех, кто безуспешно пытался найти ее доказательство.

Контекст математики в некотором смысле подобен обстоятельствам, без которых, по мнению Хосе Ортеги-и-Гассета, невозможно понять «я». Контекст математики имеет много общего с ее историей, однако эти понятия всё же различаются.

Уточним фразу, которая показалась неправдоподобной нашему прохожему и в которой усомнился недоверчивый математик. Математика действительно помогает нам познать себя: в столкновении абстрактного мира математики и мира эмоций, где обитают первооткрыватели и изобретатели, рождается свет, который достигает самых темных уголков человеческой натуры.

Именно поэтому математический контекст позволяет нам лучше оценить красоту математики. Как мы уже объясняли в главе 2, главное различие между литературой и математикой с эстетической точки зрения заключается в том, что предметом их рассмотрения являются разные объекты. Литература изучает чувства, эмоциональную составляющую человеческой природы, а математика рассматривает числа, фигуры и абстракции. Чувства и эмоции нам хорошо знакомы, благодаря этому мы можем понять эстетическую ценность романа, в то время как холодность и абстрактность математических объектов затрудняют их восприятие. Именно поэтому важно учитывать эмоциональный контекст, которого не лишена математика: он позволяет очеловечить математику и предрасполагает к эстетическому наслаждению.

Однако, как мы отмечали в предисловии, цель этой книги — не засыпать читателя аргументами и доводами, а привести примеры, на основе которых он сделает собственные выводы. В этой главе мы расскажем о том, как противопоставление абстрактного характера математики и эмоций тех, кто ее создал, помогает насладиться красотой науки и лучше понять человеческую природу. В качестве примера мы выбрали бесспорно красивые математические объекты — фракталы, а эмоциональный контекст предоставят события из жизни математика Феликса Хаусдорфа (1868–1942), предсказавшего существование фракталов.

* * *

* * *

Фрактал можно назвать множеством, аномальным с точки зрения наших органов чувств. Однако его аномальность относится к особенностям нашего восприятия. В основе этой аномальности лежит понятие размерности пространства, и это понятие существенно расширил немецкий математик Феликс Хаусдорф в 1919 году.

Открытия немецкого математика Феликса Хаусдорфа впоследствии позволили сформировать современную теорию фракталов.

Хаусдорф счел классическое определение размерности объектов очень узким как с математической, так и с философской точки зрения, а классификацию тел согласно их размерности — примитивной. Он сказал, что будет несколько затруднительно и, возможно, даже некорректно считать, что объект имеет размерность 1, если он имеет только длину (например, нить или пружина), размерность 2 — если он имеет длину и ширину (лист бумаги или поверхность сферы), и размерность 3, если, помимо длины и ширины, он имеет высоту (сфера или коробка для обуви). Чтобы расширить классическое понятие размерности, Хаусдорф предложил новое определение, более сложное и общее с математической точки зрения.

Величина, введенная Хаусдорфом, позволяет намного точнее определить размерность объекта. Вопреки тому, что нам подсказывают органы чувств, существуют объекты, размерность которых выражается дробями, например 1/2, иррациональными числами, в частности √5, и даже еще более необычными числами. Прошло больше 50 лет с момента, когда Хаусдорф ввел новое понятие размерности, прежде чем Бенуа Мандельброт (1924–2010), французский математик польского происхождения, определил фракталы как множества, имеющие дробную размерность Хаусдорфа.

Бенуа Мандельброт, математик, который ввел термин «фрактал». На этой фотографии он изображен на конференции в Варшаве в 2005 году.

Чтобы объяснить понятие размерности Хаусдорфа в общем виде (именно это определение привел сам Хаусдорф), потребуются серьезные знания математики. Тем не менее существует альтернативное определение, не до конца точное, но позволяющее читателю оценить смысл этого понятия. Это альтернативное определение размерности ввели русские математики Лев Понтрягин и Лев Шнирельман. Удивительно, что Понтрягин был слепым — он лишился зрения в 14 лет в результате несчастного случая.

Представьте, что дана плоская фигура, вписанная в квадрат, для которой мы хотим рассчитать размерность Хаусдорфа. Разделим сторону квадрата на несколько равных частей, например на 10. Квадрат окажется разделен на 100 мелких квадратов. Теперь посчитаем, сколько этих квадратов нужно для того, чтобы покрыть рассматриваемую фигуру, и адекватно сравним их число с числом частей, на которые мы разделили сторону квадрата (в нашем случае на 10).

Ключ к задаче — в том, что мы вкладываем в слова «адекватно сравним». Проясним смысл этих слов на простом примере. Пусть рассматриваемой фигурой будет квадрат целиком. Для того чтобы покрыть его, потребуются все квадраты, на которые мы разделили исходный квадрат. Таким образом, если мы разделим сторону квадрата на n равных частей, получим n·n = n2 мелких квадратов. Обратите внимание на число 2 в показателе степени n2 — именно это число и будет размерностью квадрата.

Теперь рассмотрим диагональ квадрата. Разделим сторону квадрата на 4 части. Сколько мелких квадратов понадобится для того, чтобы покрыть его диагональ? Немного подумав, читатель увидит, что для этого потребуется четыре мелких квадрата, так как именно столько квадратов лежит на диагонали большого квадрата. Если мы разделим сторону квадрата на n частей, нам потребуется n квадратов, чтобы покрыть диагональ. Однако n можно записать как n1, то есть n, возведенное в степень 1. Эта степень 1 и будет размерностью диагонали квадрата. Таким образом, любой отрезок будет иметь размерность 1.

Теперь обозначим через F плоскую фигуру, заключенную внутри квадрата, для которой мы хотим определить размерность Хаусдорфа. Разделив сторону квадрата на n частей, подсчитаем, сколько мелких квадратов потребуется, чтобы покрыть фигуру F. Обозначим их число через пр. «Адекватное» сравнение числа nF с числом частей n, на которые мы разделили сторону квадрата, означает определение степени n, соответствующей этому числу nF. Так, в примере с квадратом nF  = n2 соответствующей степенью будет 2. В примере с диагональю квадрата nF  = n1 соответствующей степенью будет 1. Если мы обозначим этот показатель степени через d, то n, nF и d будут связаны следующим тношением: nF = nd . Применив логарифмы, выразим d через n и nF : d — это логарифм nF разделенный на логарифм n:

Чем больше n, то есть число частей, на которые мы делим сторону квадрата, тем ближе число d будет к размерности Хаусдорфа для фигуры F. Размерность Хаусдорфа будет пределом, рассчитываемым при делении стороны квадрата на бесконечно большое число бесконечно малых равных частей.

Пример с окружностями Аполлония

Построим пример фрактала. Для этого вновь рассмотрим окружности Аполлония, о которых мы говорили в главе 2, так как мы будем строить фрактал на основе касательных окружностей. Построим три окружности, касающиеся друг друга (см. рисунок слева внизу). Как мы уже отмечали в предыдущей главе, существуют две другие окружности, касающиеся этих трех. Имеем пять окружностей (см. рисунок справа внизу).

Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.