Хулиномика. Элитно, подробно, подарочно!: читать начало книги онлайн

Вернёмся к теории вероятности. Расскажу ещё об одной задаче, совсем недавно её встретил, и она меня заинтересовала своей провокацией на ошибку. Представьте, что вам предлагают пари: бросить два кубика, и если на них выпали только 1, 2, 3 или 4, тогда вы выиграли. Но если там есть 5 или 6, тогда вы проиграли. Вам предлагают поставить на такой эксперимент 10 долларов. Соглашаться или нет?

Многим кажется: ну как же так, понятно, что 5 и 6 выпадает в два раза реже, чем 1, 2, 3 и 4. Пять и шесть всего в 1/3 случаев, а 1, 2, 3, 4 – в 2/3 случаев. Конечно, надо соглашаться. В чём здесь подвох?

Дело в том, что достаточно лишь одной пятёрки или шестёрки из двух кубов, чтобы проиграть пари. Всего у броска двух костей 6х6=36 исходов, но для выигрыша нам подходит только 16 из них: когда на первом кубике выпадает 1, 2, 3, 4, и на втором – тоже одна из этих цифр. Если все возможные исходы представить в виде таблицы 6 на 6, получится, что пятёрка-шестёрка со второго кубика портят целый ряд 1-2-3-4 первого кубика, и наоборот.

Выходит, что шансы того, что с двух кубов выпадет ровно одна пятёрка либо шестёрка, такие же, как и что не выпадет, – 16 вариантов. Но есть же ещё 4 варианта, когда на обоих кубиках выпадают только пятёрки и шестёрки. В итоге получается, что выигрываем мы в 16 случаях из 36, а проигрываем – в 20. Вероятность выиграть такое пари – 4/9, или около 44 %, а проиграть – 5/9 – около 56 процентов.

Посчитаем матожидание при ставке 10 долларов: +$10*4/9-$10*5/9=-$1,11, минус доллар с гривенником и центом сверху. Так что теперь вас таким пари не обмануть. Тут вам повезло.

11.6. Парадокс дня рождения

В этой задачке я не буду никого заставлять считать, просто хочу рассказать о распространённом заблуждении. Парадокc дня рождения заключается в том, что в группе из 23 человек вероятность того, что у двоих людей совпадут дни рождения, составляет больше 50 %. То есть, если вокруг 22 человека (или больше), можно смело делать ставку на то, что у кого-то из вас дни рождения совпадут.

Почему нам трудно в это поверить? Ответ математический: степени трудно осознать. Как визирь в древней задаче про шахматы и зёрнышки, мы и сейчас плоховато понимаем степенную функцию. Даже если мы подучились математике и статистике, это всё равно как-то непривычно. Вот пример неправильной логики: какова вероятность выпадения 10 решек подряд? Нетренированный мозг может составить примерно такую цепочку мыслей: одна решка – это 50 %. Две решки выбросить в два раза труднее, это 25 %. Ну а десять решек – в 10 раз труднее, ну то есть 5 %. Ну вот мы и обосрамились. Реальный шанс – это 1/2 в 10-й степени, то есть одна тысячадвадцатьчетвёртая, то есть чуть меньше десятой доли процента. Ошиблись немножко в 50 раз.

Но даже после обучения мы обманываемся. Пять процентов годовых удвоят капитал не за 20 лет, а за 14. А 20 % годовых – быстрее, чем за 4 года. Так как у нас учебник по финансам, я вам раскрою секретный способ быстро узнать, какой срок потребуется на удвоение вашего капитала. Надо 72 поделить на ожидаемую доходность. Если доходность 6 процентов, надо 72 поделить на 6, и мы получим 12, то есть при дохе в 6 % капитал удвоится за 12 лет. Для более точного результата надо брать 69, но 72 удобнее делить на разные числа. Да и, кстати, с 14 % инфляцией за 5 лет мы теряем половину капитала. Ну или зарплаты, если её пять лет не повышают.

Так и вероятность совпадения дней рождения двух человек в любой день года (1/365 = 0,27 %), умноженная на число человек в группе из 23, даёт лишь 23/365 = 6,3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (а их целых 253) значительно превышает число человек в группе.

Дело в том, что люди эгоистичны. Мы часто не думаем об окружающих. И правда, чего о них думать? В комнате, где находятся 23 человека, вы наверняка думаете о том, что именно ваш день рождения должен совпасть с чьим-то из остальных. Но вы вряд ли подумаете о том, что ещё есть 230 сравнений между другими участниками эксперимента. Вам даже не пришло в голову, что сравнений, которые вас не касаются, в 10 раз больше. И вопрос о том, совпадут ли дни рождения у кого-либо, подменился в мозгу на вопрос о том, совпадут ли дни рождения у выбранного человека с кем-либо другим из группы. В этом случае вероятность совпадения, конечно, заметно ниже.

Вроде бы нетрудно перечислить все сочетания и проверить, но есть сложность: может же оказаться, что будет 2, 3 или все 23 совпадения. Этот вопрос похож на другой: какова вероятность выбросить хотя бы одну решку за 23 броска? Вариантов много: решка на первый раз, на третий, или на пятый и десятый, или на второй и двадцать второй. Как решить такую задачу? Перевернуть!

Вместо того чтобы считать каждый способ выбросить решку, мы посчитаем вероятность выпадения неудачного сценария, когда выпадают только орлы. Вероятность этого – 1/2 в 23-й степени, очень небольшая. Но важно понять схему: если существует, например, всего 1 % вероятность выбросить все орлы, будет 99 % шанс того, что выпадет хотя бы одна решка. Мы не знаем – одна, две, десять, или пятнадцать, или все 23. Но если мы вычтем вероятность неподходящего нам сценария из единицы, у нас как раз останется вероятность нужного нам сценария.

Этот же принцип можно применить и к задаче о днях рождения. Вместо того чтобы искать вероятность совпадения, гораздо проще найти вероятность того, что все родились в разные дни. Потом мы вычтем эту цифру из единицы и получим вероятность того, что есть хотя бы одно совпадение – хотя и не будем знать, сколько именно их будет, но нам это и не требуется. В нашем случае надо умножить 364/365 на 363/365, продолжить 22 раза и вычесть произведение из единицы. Получится 50,73 %, то есть больше половины.

Кстати, для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя (надеюсь, это очевидно) 100 % она достигает, только когда в группе будет не менее 367 человек – с учётом високосных лет.

Пожалуй, с вычислениями пока всё. Можно расслабиться.

Глава 12

Рациональность против страха и ненависти

Любой рынок – это прежде всего базар. Он думает как толпа, ведёт себя как толпа, живёт как толпа. Поэтому, чтобы понять, как работает рынок, нужно понять, как мыслит толпа.

Что интересно, способность осознать, как мыслит кто-то другой, доступна только людям.

19.

Другие животные на это не способны. Даже котики. Рекомендую прикольное видео (19) на ted.com – его автор Ребекка Сакс провела массу исследований на этот счёт. Выясняется, что способность допускать собственные мысли у другого человека появляется довольно рано: в 5–7 лет. Ребёнок уже может представить, что думает тот или иной человек в модельной ситуации. И очевидно, что с годами эта способность улучшается.

Но, увы, не у всех.

12.1. Понятие о чужой рациональности

Студентам я каждый раз предлагаю одну остроумную игру, называется «угадай мысли соседей». От участников требуется угадать 2/3 от среднего числа, загаданного всеми игроками в комнате (в диапазоне от 0 до 100). Все пишут на бумажке числа, мы их складываем, делим на количество участников и берём 2/3 от среднего. Побеждает тот, кто написал на своей бумажке наиболее близкое к найденному число. Что интересно – я отчитал несколько курсов по финансовым рынкам, каждый раз провожу эту игру среди студентов и каждый раз выигрываю.

Поиск равновесия Нэша[39] в этой игре приводит к занятному парадоксу. Равновесие ищется путём отсеивания доминируемых стратегий. Так, числа больше 66 доминируются любым игроком, так как 2/3 даже от 100 (если вообще все игроки написали на бумажке 100) – меньше 67.

Их можно исключить. Как только все игроки использовали эту стратегию, можно выключать числа больше 44, ведь тогда уже никто не запишет цифру больше 66, а 2/3 от 66 – примерно 44.5. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все числа выше нуля не будут исключены путём итерации алгоритма.

Но все ли игроки будут руководствоваться здравым смыслом? Даже студенты магистратуры по корпоративным финансам не назовут ноль. Среди обычных людей победитель обычно называет цифру гораздо выше: например, в конкурсе датской газеты «Politiken» с призом в 5000 крон участвовало 19 196 людей. Среднее число было 21.6 – так что в достаточно большой компании смело можете называть 22 и будете близки к победе.

[39] В 1753 году, если быть точным.