Истину можно вычислить.: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Ошибка вторая. Замена двух царей одним, длительность правления которого равна сумме длительностей их правлений.

Ошибка третья. Неточность в вычислении длительности правления царя. Чем больше эта длительность, тем бóльшую ошибку обычно допускал летописец при ее определении.

Эти три типа ошибок можно описать и смоделировать математически. Начнем с ошибок (1) и (2). Рассмотрим какую-либо династию p = (р₁, р₂, …, р_k) из множества D. Вектор q = (q₁, q₂, …, q_k) мы назовем ВИРТУАЛЬНОЙ ВАРИАЦИЕЙ вектора (династии) p и будем обозначать его через q = vir(р), если каждая координата q_i вектора q получается из координат вектора p одной из следующих двух процедур (1) и (2).

(1) Либо q_i = p_i (то есть координата не меняется), либо pi переставляется с p_i-1, либо p_i переставляется с p_i+1, то есть с одной из «соседних координат» вектора p.

(2) Либо q_i = p_i, либо q_i совпадает с числом p_i + p_i+1.

Ясно, что каждый такой вектор (династия) q можно рассматривать как летописную династию, получившуюся из реальной династии p в результате «ее размножения» под воздействием ошибок (1) и (2) летописцев. Другими словами, мы берем каждую реальную династию p = (р₁, р₂, …, p_k) из списка D и применяем к ней «возмущения» (1) и (2). То есть либо мы меняем местами два соседних числа p_i и p_i+1, либо заменяем какое-то число p_i суммой p_i + p_i+1 или суммой p_i-1 + p_i. Для каждого номера i мы применяем указанные операции только по одному разу, то есть не рассматриваем «длинные итерации» операций на одном и том же месте i. В результате из одной династии p получается некоторое число виртуальных династий q = vir(р). Количество таких виртуальных династий легко подсчитать.

Таким образом, каждая «точка» из множества D «размножается» и порождает некоторое множество «виртуальных точек», ее окружающих, так сказать, порождает «окрестное облако», «шаровое скопление», рис. 16. Некоторые из получившихся виртуальных династий могут встретиться нам в какой-то конкретной летописи (в этом случае они будут летописными династиями), некоторые остаются всего лишь «теоретически возможными», то есть «виртуальными».

Объединяя все виртуальные династии, получающиеся из всех реальных династий p, составляющих наш список династий D, мы получаем некоторое множество vir(D), то есть «окутывающее облако» исходного множества династий D.

Таким образом, для каждой реальной династии M множество изображающих ее летописных династий можно представлять себе как «шаровое скопление» vir(M). Пусть теперь даны две реальные династии M и N. Если сформулированный нами принцип малых искажений верен, то шаровые скопления vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям M и N, не пересекаются в пространстве R^k. То есть они должны быть расположены достаточно далеко друг от друга рис. 17.

Пусть теперь а и b — две какие-то династии из множества vir(D), например, две летописные династии, рис. 18. Мы хотим ввести некоторую количественную меру близости между двумя династиями, то есть «измерить расстояние между ними», оценить, насколько они далеки друг от друга. Простейший способ был бы таким. Рассматривая обе династии как векторы в пространстве R^k, можно было бы просто взять евклидово расстояние между ними, то есть подсчитать число r(а, b), квадрат которого имеет вид

(а₁ — b₁)² + … + (a_k — b_k)².

Однако численные эксперименты с конкретными летописными династиями показывают, что это расстояние не позволяет уверенно отделить друг от друга зависимые и независимые пары династий. Другими словами, такие расстояния между заведомо зависимыми летописными династиями и расстояния между заведомо независимыми летописными династиями в некоторых случаях оказываются сравнимыми друг с другом. Оказывается, иногда они имеют «один и тот же порядок».

Тем более нельзя определять «похожесть» или «непохожесть» двух династий, точнее, графиков их правлений, «на глаз». Визуальная похожесть двух графиков может ни о чем не говорить. Можно привести примеры заведомо независимых династий, графики правлений которых окажутся «весьма похожими». И, тем не менее, никакой зависимости тут на самом деле не будет. Как выяснилось, в данной проблеме визуальная близость может легко ввести в заблуждение. Требуется надежная количественная оценка, устраняющая зыбкие субъективные соображения вроде «похожи», «не похожи».

Итак, задача состоит в том, чтобы выяснить, существует ли вообще такая естественная мера близости на множестве всех виртуальных династий, которая позволила бы уверенно отделить зависимые династии от независимых. То есть чтобы «расстояние» между заведомо зависимыми династиями было «мало», а «расстояние» между заведомо независимыми династиями было «велико». Причем требуется, чтобы эти «малые» и «большие» значения существенно отличались бы друг от друга, например, чтобы они были отделены одним или несколькими порядками.

Оказывается, такая мера близости, то есть «расстояние между династиями», действительно существует. К описанию такого коэффициента с(а, b) мы сейчас и перейдем.

Итак, мы построили в пространстве R¹⁵ некоторое множество династий D. Были смоделированы две наиболее типичные ошибки, делавшиеся летописцами. Каждая династия из множества D была подвергнута возмущениям типов (1) и (2). При этом каждая точка из D размножилась в несколько точек, что привело к увеличению множества. Получившееся множество мы обозначали через vir(D). Оказалось, что множество vir(D) состоит примерно из 15 × 10¹¹ точек.

Будем считать «династический вектор а» случайным вектором в R^k, пробегающим множество vir(D). Тогда по множеству vir(D) мы можем построить функцию z плотности вероятностей. Для этого все пространство R¹⁵ было разбито на стандартные кубы достаточно малого размера так, чтобы ни одна точка из множества vir(D) не попала на границу какого-либо куба. Если x — внутренняя точка куба, то, положим:

Ясно, что для точки x, лежащей на границе какого-либо куба, можно считать, что z(x) = 0. Функция z(x) достигает максимума в области, где сосредоточено особенно много династий из множества vir(D), и падает до нуля там, где точек из множества vir(D) нет, рис. 19. Тем самым график функции z(x) наглядно показывает, как именно распределено множество виртуальных династий vir(D) по пространству R^k. Другими словами, где это множество «густое», «плотное», а где оно разрежено.

Пусть теперь нам заданы две династии:

а = (a₁, …, a_k) и b = (b₁, …, b_k),

и мы хотим оценить, насколько они близки или далеки. Построим k-мерный параллелепипед P'(A, В) с центром в точке а, имеющий в качестве диагонали вектор а — b, рис. 20. Если спроектировать параллелепипед P'(a, b) на i-ю координатную ось, то получится отрезок с концами

[a_i — |a_i — b_i|, a_i + |a_i — b_i|].

В качестве предварительного коэффициента с'(а, b) мы возьмем число: