ЗНАК ВОПРОСА 2003 № 04: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

118 = 5 + 113

118=11 + 107

118=17+101

118 = 29 + 89

118 = 47 + 71

118 = 59 + 59

ГРАНЬ 118-2. Число 118 есть составное по умножению, т. е. 148 = 2 × 59. Два — первое простое число, 59 — центральное параметрическое число первого (и единственного для такого центрального числа) простомагичного квадрата третьего порядка в бесконечной последовательности подобных квадратов.

ГРАНЬ 118-3 На 30 июля 2002 года в Московской области официально зарегистрировано 118 очагов лесных пожаров на торфяниках.

ГРАНЬ 118-4. Число жертв в аварии военного российского вертолета Ми-26 в Ханкале (военный аэродром в предместье города Грозного) достигло 118 человек.

ГРАНЬ 118-5. 118 — число погибших членов экипажа атомной подводной лодки «Курск» 12 августа 2000 года.

ГРАНЬ 118-6. Если заглянуть в том 4 третьего издания БСЭ, то на страницах 509 и 510 в статье «Венеция» можно найти следующее:

«Венеция живописно расположена на 118 островах Венецианской лагуны… Территория, которую занимает Венеция, особенно в центре города, подвержена постепенному опусканию…».

«С конца XIII века Республика Венеция стала олигархической. Представители двух-трех сотен знатных фамилий формировали все органы власти, включая пожизненно избираемого главу государства — дожа».

ГРАНЬ 118-7. 118-й простомагичный квадрат третьего порядка выглядит так, как показано ниже. Он единственный в серии квадратов с центральным параметрическим простым числом 487. Его магическая сумма равна 1461. Более интересен такой факт. Среднее простое число верхней строчки 151 является симметричным. Менее известно, что в Псалтири (в книге псалмов, части Библии), находящейся в повседневном обиходе настоящих православных христиан, содержится ровно 151 псалом.

№ 118-1(1)

Каков план работы МУЗЕЯ ЧИСЕЛ? Не исключается, что у нас будет создан отдел картин, нарисованных (буквально нарисованных пером с черной тушью на листике ватмана!) десятичными цифрами. Сюжет картины-миниатюры может быть любым, за исключением пошлого.

Сама миниатюра, в противовес определению, не должна быть очень маленькой, линии рисунка не должны быть слишком тонкими, а весь сюжет должен свободно разместиться в рамках страничного формата за счет ровно десяти цифр, от нуля до девяти. В целях достижения наибольшей художественной выразительности изображения цифр от нуля до девяти допустимо делать под разными углами к горизонтали, произвольно масштабировать и значительно деформировать их. В результате подобной работы особый интерес вызовут выдержанные в стиле дружеского шаржа портреты известных творческих людей: математиков, поэтов, изобретателей, композиторов и музыкантов. Кроме того, открыт отдел математической афористики и математического юмора. Вполне вероятно создание отдела магических квадратов, а начнется он, скорее всего, со справочного отдела ранжированных и пронумерованных простомагичных квадратов третьего порядка.

К сведению опоздавших: музею присвоено имя Якова Исидоровича Перельмана, весьма уважаемого в прошлом человека, и поэтому очень хотелось бы, чтобы при чтении строк признательности в его адрес в голове у вас звучала торжественная и светлая музыка в знак почтения к Якову Исидоровичу, в знак памяти о нем. Он много знал, добывая упорным трудом, в основном из книг, клады премудрости и щедро делясь найденными знаниями со всеми этого желающими, облекая свои находки в простую и понятную форму занимательности. Певец полезного досуга, энтузиаст наиболее оптимального способа самообразования, Перельман высоко ценил научную фантастику и пропагандировал ее классиков, чаще всего — Жюля Верна, состоял в переписке с К. Э. Циолковским. Как это часто бывало с другими «правильными» людьми в России, Яков Исидорович закончил жизнь по-русски в блокадном Ленинграде, казалось бы, всеми тогда забытый.

Умер он от голода. Но наша Родина не забывает своих настоящих сынов, о чем каждый из нас обязан, по долгу совести, напоминать в подходящий момент, что мы и делаем. Имя Я. И. Перельмана и его гуманитарные идеи отныне будут постоянно присутствовать в музейной рубрике и «без отдыха работать ради светлого будущего для всех».

В МУЗЕЕ ЧИСЕЛ много уникального, что можно отнести и на счет коллекций хранящихся и используемых в нем особых «знаков препинания», составленных комбинациями из общеизвестных математических знаков с учетом принципов гармонии и симметрии. Чуть ниже можно увидеть воочию один из них.

Войдя в наш музей, мы направимся с вами, уважаемые читатели-экскурсанты, в особый отдел, а именно — в мастерские по изготовлению редких математических конструкций. Они, недавно выполненные, перед вами, а мой тактический ход не без намека: при желании любой из вас может устроить «математический верстачок» дома, без вреда или помех для окружающих, с немалой пользой для себя, более того, с ощутимой пользой для многих любителей математики, если вы догадаетесь направить свои изделия и находки в журнальный музей в качестве постоянных экспонатов. Присутствие паспортных этикеток с фамилиями авторов рядом с конструкциями и находками гарантируем.

Перед вами квадратные числовые таблицы с ячейками-клеточками, заполненными единицами и нулями. Нули, для простоты картины, представлены пустыми клетками. Порядки первой пары квадратов — три и семь, иначе — это цифровые таблицы размерностей 3 x 3 и 7 × 7. По терминологии, принятой в современной комбинаторной математике, такие квадраты называются матрицами инцидентности симметричных блок-схем (СБС). Далее — просто СБС. Все строки СБС могут быть образованы из ее первой строки за счет циклического сдвига исходного ряда единиц и нулей. Для определенности, как здесь, — вправо. Операция циклического сдвига вправо описывается следующим образом: все разряды-клеточки текущей строки сдригаются на одну клетку-шаг вправо; значение крайнего правого разряда (клетки), «выпадающего» за рамки большого квадрата, присваивается левой, «пустой» после сдвига, клетке.

Итак, СБС могут быть порождены циклическим сдвигом всего лишь одной, первой, строки. Все сдвигаемые на один шаг строки по очереди помещаются в позицию второй строки, третьей и так далее.

Справедливости ради нужно отметить, что не все СБС с заданными свойствами могут быть построены вот так, циклически. Иногда приходится применять более сложный способ. В некоторых случаях СБС с заданными свойствами вообще не существуют. Нас будут интересовать количественные характеристики различимости любой пары строк, взятой из матрицы инцидентности блок-схемы. Ступенчато-треугольные диаграммы справа от соответствующих СБС показывают, что любые произвольно выбранные две строки матрицы, например третьего порядка, различаются в двух позициях (разрядах), а неодинаковость для любой пары строк матрицы седьмого порядка характеризуется числом четыре. В разделе прикладной информатики, занимающейся защитой от помех представленных в цифровой форме данных при их передаче или хранении, строки СБС называют часто двоичными векторами, двоичными числами, а показатель их различимости друг от друга — расстоянием, расстоянием в смысле Хэмминга, кодовым расстоянием. Кодовым — это потому, что приведенные выше конструкции в принципе могут служить основой для построения так называемых помехоустойчивых кодов. В хороших системах «охраны информации» величина кодового расстояния «пропорциональна мощности помех», которым эти коды могут противостоять.

Ниже каждой пары «СБС — диаграмма» даны характеристики симметричности СБС. Слева и справа от косой, наклоненной вправо черты, или «слэша» («след от косого сабельного удара», англ.) приведены параметры симметричности соответствующих СБС относительно их двух главных диагоналей, выбранных в качестве осей симметрии. Слева — для наклоненной верхним концом влево главной диагонали, справа — для наклоненной тоже верхним концом, но вправо, главной диагонали. Вне скобок указаны количества несовпадений клеточек (по их содержанию), симметрично расположенных относительно одной из двух возможных осей. Оси, как мы условились, ориентированы вдоль главных диагоналей. В скобках можно видеть суммарное число единиц по клеточкам, лежащим на конкретной главной диагонали.

Переведем дыхание и посмотрим, что за музейные диковинки у нас получились. Заодно дадим еще несколько полезных пояснений и определений. Все двоичные строки-векторы СБС в совокупности образуют систему кодовых слов, или кодовую систему, способную исправлять некоторые ошибки, иногда — только обнаруживать их, но даже эта способность на практике может оказаться очень полезной. Появление ошибок вероятно при передаче кодовых слов системы, например, по радиоканалу. Кодовые расстояния по Хэммингу для любой пары строк у СБС третьего и седьмого порядка все одинаковые. Коды, построенные на основе подобных СБС, называются эквидистантными. Количество единиц в одной двоичной строке специалисты по кодам называют весом. Можно видеть, что в любой представленной СБС вес каждой ее строки одинаков. Коды с таким свойством называют равновесными. Отметим, что из всех приведенных здесь СБС левый и правый параметры симметричности одновременно равны нулю только у СБС третьего порядка. Перестановка любой пары строк (или столбцов) свойств равновесности или эквидистантности СБС не меняет, а вот параметры симметричности изменить может. Если направленно пользоваться операцией перестановки пары строк, вслед за которой обязательно следует перестановка пары столбцов, Можно изменить параметр симметричности по «несимметричной оси», повысить или понизить его, даже свести к нулевому значению. Однако последнее не всегда возможно. СБС более высоких порядков, аналогичные рассматриваемым, успешно применялись в парольной кодовой защите данных системы управления ДОКС — долговременной орбитальной космической станции «Мир».

Теперь внимание! Для желающих испытать свои способности оглашается домашнее задание. Попробуйте за счет перестановок строк и столбцов увеличить симметричность СБС 4-го, 5-го, 6-го и 7-го порядков. Отметим, что в СБС 7-го порядка значения параметров симметричности 0/0 достичь невозможно. По крайней мере, мне этого сделать до сих пор не удалось. Нарисуйте ваши художественно-математические творения и пришлите нам, заменив единички закрашенными черным клеточками, используйте клеточные геометрические узоры в домашних поделках. В процессе выполнения упражнения через более полную внешнюю визуальную симметрию и красоту лучше обнаруживается внутренняя гармония структуры СБС. Подобная скрытая мотивация к работе, наверно, больше привлечет девочек и женщин. Мальчикам всех возрастов, по природе своего мужского естества, если оно в норме, склонным все защищать, исправлять, делить по справедливости, может оказаться более привлекательным сознание того, что они вплотную соприкасаются с приемами и методами защиты от помех представленной в двоичной записи информации. И кого из нас не привлекают маленькие тайны, которые, в конце концов, вслед за приложением умеренных творческих усилий все же раскрываются?