Страх физики. Сферический конь в вакууме: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

В мои задачи не входит научить вас искусству устного счёта, вместо этого я расскажу, как производить численные оценки. Если упрощение картины мира предполагает приближённое её описание, то экспоненциальная форма представления чисел лучше всего подходит для приблизительной оценки каких-то величин с точностью до порядка. Она позволяет быстро получить ответы на вопросы, которые при другом подходе были бы практически неразрешимыми. Грубые оценки помогают убедиться, что мы находимся на правильном пути. Они также позволяют сберечь время и силы, оберегая нас от выполнения ненужной работы. Одна известная байка рассказывает о некоем аспиранте, который потратил массу усилий, чтобы решить сложную систему уравнений, описывающую эволюцию Вселенной, чтобы получить в итоге один важный параметр. И на защите диссертации выяснилось, что этот же параметр получается за пару минут из общих соображений путём простой оценки.

Как сказал Энрико Ферми, «оценка по порядку величины позволяет вам ощутить почву под ногами». Ферми был последним из величайших физиков, который одинаково хорошо владел как теорией, так и техникой эксперимента. Он был одним из участников Манхэттенского проекта по созданию атомной бомбы и в числе прочего занимался проблемой получения управляемой цепной реакции деления атомных ядер. Он также был первым физиком, сумевшим построить теорию, описывающую цепную реакцию деления, за что удостоился Нобелевской премии. Его преждевременная смерть от рака, скорее всего, была вызвана воздействием радиации, изучением которой он занимался в те времена, когда её опасность для человеческого организма ещё не была установлена. Если когда-нибудь вы окажетесь в международном аэропорту имени Логана в Бостоне и по пути в город застрянете в пробке перед въездом в туннель, обратите внимание на мемориальную доску перед выездом на небольшой путепровод. Этот путепровод назван именем Энрико Ферми, и, на мой взгляд, очень показательно, что в то время как города называются именами президентов, а стадионы — именами спортсменов, именем Ферми названа дорога, поскольку в физике он был первопроходцем.

Я упомянул Ферми, потому что, будучи лидером группы физиков, работавших над Манхэттенским проектом в подвальной лаборатории, располагавшейся под футбольным полем Чикагского университета, он постоянно поднимал моральный дух руководимой им группы, разбавляя рутинную и тяжёлую работу интересными задачами, далеко не всегда имевшими отношение к физике. Энрико считал, что настоящий физик должен быть способен ответить на любой вопрос из любой области. Это не обязательно должен быть точный ответ — важно лишь разработать алгоритм, который позволил бы на основе имеющихся общих знаний оценить порядок величины. В качестве примера такой задачи можно привести вопрос, который часто задают на собеседовании в IT-компаниях: «Сколько настройщиков фортепиано проживают в настоящее время в Чикаго?»

Как бы подошёл к ответу на этот вопрос Энрико Ферми? Для начала он оценил бы численность населения Чикаго — допустим, пять миллионов человек. Из скольких человек состоит средняя чикагская семья? Предположим, что из четырёх. Тогда получается, что в Чикаго проживает (по порядку величины) около одного миллиона, или 10⁶ семей. У какой части семей дома есть фортепиано? Допустим, у каждой десятой. Значит, в Чикаго ориентировочно 100 000 фортепиано. Как часто необходимо их настраивать? Пускай раз в год. Сколько времени тратит настройщик на настройку одного инструмента? Явно не менее половины рабочего дня. Тогда, учитывая, что в выходные настройщик отдыхает, получится, что он способен настроить 500 фортепиано в год. Для того чтобы в течение года настроить 100 000 инструментов, понадобится:

100 000/500 = 1/5∙10⁵/10² = 1/5∙10³ = 0,2∙10³ = 2∙10² = 200 настройщиков.

Полученный результат не означает, что количество настройщиков в Чикаго в точности равно 200. Это оценка, полученная из общих соображений, но она даёт нам представление о порядке величины количества настройщиков. Если бы в реальности их оказалось менее 100 или более 1000, мы были бы сильно удивлены (на самом деле в Чикаго 600 настройщиков). Задумайтесь о том, что мы получили близкую к реальности оценку практически из ничего, из самых общих соображений, и снимите шляпу перед мощью этого метода.

Оценка по порядку величины может натолкнуть вас на новые идеи, которые в противном случае, возможно, никогда не пришли бы вам в голову. Чего больше: песчинок на пляже или звёзд на небе? Сколько людей на Земле чихают в течение одной секунды? За какое время вода и ветер смогут сточить до основания Эверест? Сколько человек в мире… (придумайте сами подходящий вопрос) за то время, пока вы читали эти строки?

Не менее важно и то, что оценка по порядку величины может принести вам озарение относительно тех вещей, суть которых вы пытаетесь понять. Человеческий мозг без специальной тренировки способен одновременно визуально зафиксировать в памяти не более двенадцати предметов, а чаще всего — не более шести. Когда вы видите шесть точек на грани игральной кости, вам нет необходимости их пересчитывать, вы и так понимаете, что их шесть. Но если бы у вас оказалась игральная кость с 20 гранями, то вы не сумели бы сразу определить, сколько точек находится на обращённой к вам грани: 17, 19 или 20, не пересчитывая их.

Даже если бы эти точки были нанесены в виде какого-нибудь регулярного узора, вы всё равно не смогли бы оценить их общее число, вместо этого вы оперировали бы, например, числом строк (4) и числом столбцов (5). Это происходит потому, что человек не способен легко и интуитивно представить себе число 20, несмотря на то что в повседневной жизни это число встречается достаточно часто: 20 пальцев на руках и ногах или 20 рабочих дней в месяце и т. д.

Оперируя очень большими или очень малыми числами, мы лишены способа наглядно представить, что они означают, не прибегая к оценке, которая позволила бы сопоставить исследуемое число с чем-то известным, что отличается от него не более чем в несколько раз, то есть с чем-то сравнимым по порядку величины. Один миллион может по порядку величины соответствовать числу людей, живущих в вашем городе, или количеству секунд, которые проходят за 10 дней. Миллиард по порядку величины соответствует населению Китая или количеству секунд, проходящих за 32 года. Сможете ли вы оценить, сколько раз вы слышите своё имя за время вашей жизни? Сколько килограммов пищи вы съедаете за десять лет? Удовольствие, получаемое от возможности шаг за шагом решать сложные, на первый взгляд, неразрешимые задачи, со временем вызывает сильное привыкание. Я думаю, что «кайф» подобного рода представляет собой большую часть удовольствия, которую получают физики от занятия физикой.

Экспоненциальная запись и оценка по порядку величины играют в физике неоценимую роль. Именно они в первую очередь и позволяют производить те самые упрощения, о которых я говорил в предыдущей главе. Если мы правильно представляем себе порядок величины, то мы уже понимаем большую часть из того, что нам необходимо понять. Я не хочу сказать, что вычисление всяких коэффициентов, входящих в уравнения типа 2π или 8/3, не важно, просто оценка порядка величины — это та самая лакмусовая бумажка, которая говорит, что мы на верном пути, а уже точно зная направление, можно начинать улучшать оценки, сравнивать предсказания с экспериментами и наблюдениями и совершенствовать теорию.

Теперь настало время пояснить, почему я сказал, что числа, отображающие реальные вещи в реальном мире, имеют смысл только будучи записанными в экспоненциальной форме. В первую очередь, потому что числа в физике, как правило, отражают то, что может быть измерено. Измеряя расстояние от Земли до Солнца, я могу выразить полученный результат двумя способами: 14 960 000 000 000 см или 1,4960∙10¹³ см. Для математика обе формы записи эквивалентны и представляют одно и то же число. Но для физика между числами 14 960 000 000 000 и 1,4960∙10¹³ существует принципиальная разница. Когда физик говорит, что расстояние от Земли до Солнца составляет 14 960 000 000 000 сантиметров, это означает, что оно в точности равно этому числу: не 14 959 790 562 739 и даже не 14 960 000 000 001 см, а ровно 14 960 000 000 000 см. Но это также означает, что мы знаем расстояние от Земли до Солнца с точностью до сантиметра!

Но это же абсурд, потому что расстояния от Аспена до Солнца (в полдень) и от Кливленда до Солнца (тоже в полдень) различаются на два с половиной километра — 250 000 сантиметров — из-за того, что Аспен и Кливленд располагаются на разной высоте над уровнем моря. Чтобы такое точное расстояние имело физический смысл, мы должны очень точно указать точку на поверхности Земли, в которой мы производим измерения. Даже если мы будем измерять расстояние между центром Земли и центром Солнца (самый разумный выбор), то это подразумевает, что мы предварительно измерили диаметры Земли и Солнца с точностью до сантиметра, не говоря уже о том, что произвести на практике измерения астрономических расстояний с такой точностью крайне проблематично, если вообще возможно.

Очевидно, что, написав число 14 960 000 000 000, мы на самом деле имели в виду приблизительное, а не точное значение. Но с какой точностью мы на самом деле знаем расстояние от Земли до Солнца? Подобного вопроса не возникает, когда мы записываем число в виде 1,4960∙10¹³ см. Принято считать, что в экспоненциальной записи в мантиссе сохраняются только достоверные цифры, и данная запись говорит о том, что реальное расстояние лежит в пределах между 1,49595∙10¹³ см и 1,49605∙10¹³ см. Если бы расстояние было известно нам с вдесятеро лучшей точностью, мы записали бы его в виде: 1,49600∙10¹³ см.

Таким образом, существует огромная разница между 1,4960∙10¹³ см и 14 960 000 000 000 см. Чтобы представить, насколько она огромна, подсчитаем абсолютную погрешность приведённого числа. Эта погрешность составляет 0,0001∙10¹³ см — один миллиард сантиметров, или десять тысяч километров, — почти диаметр Земли!

«И это физики называют точным результатом?» — спросите вы. Да. Несмотря на то что абсолютная величина погрешности — миллиард сантиметров — выглядит чудовищной, она составляет меньше одной десятитысячной расстояния от Земли до Солнца. Если бы вы с такой же точностью измерили свой рост, вы узнали бы его с точностью до двух десятых долей миллиметра.

Красота записи 1,4960∙10¹³ состоит ещё и в том, что множитель 10¹³ сразу же задаёт «масштаб» числа, а мантисса 1,4960 указывает на его точность. Чем больше десятичных разрядов содержит мантисса, тем точнее мы знаем физическую величину. Глядя на число, записанное в экспоненциальной форме, вы сразу же понимаете, чем можно пренебречь. Масштаб 10¹³ см говорит, что физические эффекты, проявляющиеся на масштабах в несколько сантиметров, метров, километров и даже тысяч километров, скорее всего, можно не учитывать. А как я говорил в предыдущей главе, самое главное в физике — это понимать, чем можно, а чем нельзя пренебречь.

До сих пор я игнорировал, возможно, наиболее важный факт, который придаёт числу 1,4960∙1013 см физический смысл. Это записанное после него сокращение «см». Без этих «см» мы бы не знали, к какой физической величине относится число, а сакраментальное «см» говорит о том, что это расстояние. Данная спецификация называется размерностью физической величины. Размерность связывает абстрактные математические числа с физическим миром реальных явлений. Сантиметры, дюймы, километры, световые года — это всё размерности длины, которые могут использоваться для измерения расстояний.

Вероятно, самым удивительным свойством окружающего мира, позволяющим упростить его картину, является то, что в природе существуют только три независимые размерные величины: длина, время и масса[6]. Размерности всех остальных величин могут быть выражены через комбинацию трёх основных. Неважно, измеряете ли вы скорость в милях в час, метрах в секунду или стадиях в неделю, — всё это лишь различные способы выражения расстояния, делённого на время.

Это свойство имеет замечательные последствия. Из-за того что в природе существуют только три независимые размерные величины, количество комбинаций, которые можно из них сконструировать, ограничено. Это означает, что каждая физическая величина связана с любой другой физической величиной некоторым простым способом, и это существенно ограничивает количество различных математических соотношений, возможных в физике. Не побоюсь утверждать, что не существует более важного инструмента, используемого физиками, чем размерности физических величин. Размерности не только облегчают запоминание уравнений, но и существенно упрощают картину физического мира. Как я покажу позже, анализ размерностей даёт важный ориентир для разумной интерпретации той информации, которую мы получаем от наших органов чувств или измерительных приборов. Описывая физические величины, мы оперируем их размерностями.

Когда мы анализировали законы масштабирования сферического коня, мы работали с соотношениями размерностей длины и массы. Например, нам было важно установить, как соотносится изменение объёма коня с изменением его линейных размеров. Анализируя размерности, можно пойти дальше, чтобы понять, как оценить объём предмета произвольной формы. Как я уже говорил, неважно, какими единицами мы пользуемся для измерения объёма: кубическими дюймами, кубическими сантиметрами или кубическими футами, важно лишь, что все эти единицы кубические. Единицы, в которых измеряется объём, имеют размерность кубической длины, то есть [длина]×[длина]×[длина]. Таким образом, объём любого объекта может быть оценён путём выбора некоторой характеризующей этот объект длины d с последующим возведением её в куб: d3. Обычно этого достаточно, чтобы оценить порядок величины объёма. Например, объём сферы задаётся выражением V = π/6∙d3 ≈ ½∙d3, где d — её диаметр.

А вот пример простейшего анализа размерностей. Предположим, что вы забыли, что следует сделать, чтобы найти пройденное телом расстояние: умножить скорость на время или разделить. Посмотрев на размерности входящих в формулу величин, вы мгновенно получите правильный ответ. Размерность скорости — [метр]/[секунда], размерность длины — [метр]. Для того чтобы получить расстояние, то есть [метр], необходимо [метр]/[секунда] умножить на [секунда], а именно скорость умножить на время. Поколение за поколением студентов безуспешно зубрит сложные формулы, вместо того чтобы просто составить входящие в них физические величины так, чтобы размерность справа от знака равенства была такой же, как и размерность слева.

Следует обратить особое внимание на то, что анализ размерности никоим образом не гарантирует, что вы получите правильный ответ, но он гарантированно подскажет, когда вы ошибаетесь. Он как слега при переходе через болото: не факт, что, пользуясь ею, вы не заблудитесь, но зато наверняка не утонете.

Говорят, что фортуна благоволит подготовленному уму. Ничто не может быть более справедливым в отношении физики, и анализ размерности поможет подготовить ум к неожиданностям. Результат простого анализа размерностей часто оказывается настолько потрясающим, что может показаться магией. Для большей убедительности я приведу пример из современной физики, в котором известное и неизвестное оказались очень тесно переплетены. В этой истории анализ размерностей помог прийти к пониманию одной из четырёх фундаментальных сил природы — сильного взаимодействия, которое связывает кварки в протоны и нейтроны, являющиеся основными компонентами атомных ядер. При первом чтении апелляция к размерностям может показаться вам не очень понятной, но не беспокойтесь. Я привожу здесь эту историю, потому что она позволяет увидеть, насколько эффективно анализ размерностей способен подтолкнуть физическую интуицию. В моём рассказе красота вывода более важна, чем полученный результат.

Физики, изучающие элементарные частицы, пытающиеся найти основные кирпичи мироздания и объяснить фундаментальные взаимодействия, разработали систему единиц измерения, которая идеально приспособлена для анализа размерностей. В принципе три основные размерности — длина, время и масса — независимы, но на практике между ними есть фундаментальная связь, осуществляемая посредством так называемых фундаментальных физических констант. Например, если бы существовала некая универсальная константа, связывающая время и расстояние, я мог бы выразить расстояние через время путём простого умножения времени на эту константу. Впрочем, почему «если бы»? Такая константа действительно существует — это скорость света в вакууме. Один из постулатов созданной Эйнштейном теории относительности гласит, что скорость света в вакууме не зависит ни от скорости источника света, ни от скорости наблюдателя: как бы мы её ни измеряли, мы всегда будем получать одно и то же значение — в этом и состоит её универсальность. Эту константу принято обозначать латинской буквой c, и, как нетрудно догадаться, она имеет размерность длины, делённой на время. Если я умножу некий промежуток времени на c, я получу нечто, имеющее размерность длины, а именно — расстояние, которое свет проходит за это время. Таким способом мы можем любое расстояние выразить через время, которое требуется свету, чтобы пройти это расстояние. Например, расстояние от вашего плеча до локтя свет проходит за 10-9 секунды, значит, вы можете считать, что расстояние от плеча до локтя составляет 10-9 секунды. Любой наблюдатель, измеряющий расстояние в «световых секундах», получит то же самое значение.

Существование такой универсальной константы, как скорость света, позволяет установить взаимно однозначное соответствие между расстоянием и временем. Это позволяет исключить одну из этих размерностей из системы единиц. А именно: мы можем либо оставить только единицу длины, а время выражать через неё, либо наоборот. При этом очень удобно выбрать такие единицы измерения времени и расстояния, в которых скорость света оказывается равной единице. Например, мы можем выбрать в качестве единицы длины световую секунду, тогда скорость света будет равна одной световой секунде в секунду. В такой системе единиц расстояние и эквивалентное ему время будут выражаться одним и тем же числом!

Пойдём дальше. Если численное значение световой длины и соответствующего ей светового времени в построенной нами системе единиц одинаковы, то стоит ли рассматривать длину и время как величины разной размерности? Вместо этого можно присвоить расстоянию и времени одинаковые размерности, тогда скорость, которая суть расстояние, делённое на время, станет безразмерной величиной. Физически это эквивалентно тому, что мы бы измеряли скорость в (безразмерных) долях скорости света, то есть если я напишу, что скорость равна 1/2, это попросту будет означать, что она равна половине скорости света. Очевидно, что для корректного построения подобной системы нам понадобится универсальная эталонная скорость, относительно которой мы будем измерять все остальные скорости, — ну так скорость света и является таким универсальным эталоном.

Итак, после приравнивания скорости света к единице и объявления её безразмерной величиной у нас остаются только две независимых размерности: время и масса (или, если так будет удобнее, расстояние и масса). Одним из следствий такого необычного подхода является то, что он позволяет, помимо расстояния и времени, приравнять размерности и других величин. Например, знаменитая формула Эйнштейна E = mc2 устанавливает эквивалентность массы и энергии. В нашей системе единиц, где скорость света c равна безразмерной единице, размерность массы оказывается такой же, как и размерность энергии. Давайте подумаем, что формально делает формула Эйнштейна. Она устанавливает взаимно однозначное соответствие между массой и энергией, то есть если у нас что-то обладает некоей энергией, то это что-то обладает эквивалентной этой энергии массой, и наоборот. Если переводной коэффициент между массой и энергией становится безразмерной единицей, то величина массы становится тождественно равной величине энергии. Это освобождает нас от необходимости использовать для измерения массы величин типа килограмма или фунта, мы можем измерять её в тех же единицах, в которых измеряем энергию: в джоулях или калориях. Именно так и поступают физики, изучающие элементарные частицы: они измеряют массы частиц в электрон-вольтах. Электронвольт — это энергия, которую приобретает электрон, если его разогнать разностью потенциалов в один вольт. Вместо того чтобы записывать массу электрона как 10-31 г, физики записывают её как 0,511 МэВ (мегаэлектронвольт). Поскольку в физике элементарных частиц учёные постоянно имеют дело с процессами, в которых масса частиц преобразуется в энергию и обратно, то совершенно разумно и логично использовать для измерения массы те же единицы, что и для измерения энергии, и не брать в голову никакие переводные коэффициенты из джоулей в килограммы. Существует важное правило: всегда следует использовать такие единицы измерения, которые дают наилучшее представление о масштабе явления. В ускорителях частицы разгоняются до скоростей, близких к скорости света, поэтому использование системы единиц, в которой скорость света равна единице, для таких задач очень удобно и практично. Для описания же явлений повседневной жизни такая система, наоборот, оказывается непрактичной и неудобной, поскольку приводит к необходимости оперировать очень маленькими числами. Например, скорость реактивного самолёта в единицах скорости света составляет порядка 0,000001 = 10-6.

Но это ещё не всё. Существует ещё одна фундаментальная физическая постоянная, её принято обозначать буквой h и называть постоянной Планка. Немецкий физик Макс Планк был одним из отцов-основателей квантовой механики. Он ввёл эту константу, чтобы связать энергию кванта с его частотой, а значит, постоянная Планка устанавливает связь между энергией и временем или, если вам хочется, между массой и расстоянием. Действуя так же, как мы поступили со скоростью света, примем численное значение постоянной Планка равным безразмерной единице. Что получится? Из всех размерностей у нас останется только размерность энергии, поскольку теперь мы можем выразить через энергетические единицы, например через электрон-вольты, не только энергию, но и массу, и время, и расстояние — и все остальные физические единицы измерения. Постоянная Планка связывает энергию и частоту: Е = hν, частота имеет размерность [1/секунда], тогда время в энергетических единицах будет иметь размерность [1/электронвольт]. В физике часто вместо постоянной h используется постоянная ħ, которая равна h/(2π), просто потому что так удобнее. В системе единиц, в которой с = ħ = 1, одна секунда будет равна 1,5∙1015/эВ — обратите внимание, что электрон-вольты стоят в знаменателе, обычно в таких случаях используют отрицательные показатели степени и пишут: 1,5∙1015 эВ-1.

В итоге мы создали систему, в которой три основные размерности свели к одной. Теперь мы можем описать весь физический мир, используя только размерность массы, или только размерность длины, или только размерность времени — не принципиально, какую размерность мы выберем, это уже будет результат произвольного соглашения. В физике высоких энергий удобно использовать в качестве базовой размерность энергии. Например, объём, имеющий в привычной системе единиц размерность [длина3], в новой системе, в которой с = ħ = 1, будет иметь размерность [1/энергия3], потому что длина в этой системе имеет ту же размерность, что и время, а время имеет размерность, обратную размерности энергии. Численно 1 м3 будет равен 1,3∙1020 эВ-3.

[6] Некоторые добавляют к трём основным размерностям ещё электрический заряд, но в этом нет необходимости. Размерность заряда может быть выражена через размерности длины, времени и массы.