Знак Вопроса 1997 № 04: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

LINE (.047 × M, 75 × N) — (u, v)

CIRCLE (x, y), 5

CIRCLE (u, v), 5

NEXT k

PRINT

END

Гиперболу можно рассматривать как изображение окружности в плоскости, где в качестве базиса берутся единичный вектор а, и мнимоединичный вектор b. «По существу, дело обстоит здесь совершенно так же, как и с картой земных полушарий, т. е. с изображением полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно содержит искажения… Совершенно так же обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псевдоевклидова плоскость, а ее условным изображением — собственно евклидова плоскость чертежа», — пишет П. К. Рашевский в книге «Риманова геометрия и тензорный анализ».

В первой работе Эйнштейна (1905), в которой был сформулирован принцип относительности, еще не было языка неевклидовой геометрии. Это было сделано Минковским за несколько месяцев до смерти (наступившей в январе 1909 г.) в докладе, опубликованном посмертно. Его основной темой была геометрия, названная позже псевдоевклидовой геометрии, или геометрией Минковского, значение которой для теории относительности всегда подчеркивалось, Эйнштейном.

Формула линзы наглядно показывает относительность конечного и бесконечного. Романтики посвящали бесконечности и стихи. В начале романа «Отверженные» В. Гюго определил его как «драму, в которой главное действующее лицо бесконечность. Человек в ней — лицо второстепенное».

Повышенное внимание к «краевому мышлению» характерно не только для поэтов, но и для математиков. Математик Ж. Адамар в эссе «Исследование психологии процесса изображения в области математики», призывая «думать около», усматривает аналогии между краевым сознанием и расплывчатыми идеями, находящимися в «прихожей сознания» и время от времени выступающими на передний план, в поле ясного сознания. Вспомним историю отторжения векторного исчисления и неевклидовой геометрии. Очень показательно в этом отношении неприятие Вейерштрассом на его семинаре (в феврале 1870 г) системы неклассических геометрии Кэли-Клейна. «Я отнесся к этой отрицательной позиции с уважением и отложил в сторону уже созревшую идею. Я всегда робел перед критикой логиков, которая была далека от моих интересов. Только гораздо позже я понял, что суть дела заключается в различии наших подходов и что психология математического творчества таит в себе огромные проблемы. Очевидно, Вейерштрасс по натуре своей был склонен к тщательной, постепенной работе, шаг за шагом пролагающей путь к вершине; ему менее свойственно было издали распознавать не достигнутые еще высоты», — отмечал Ф. Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии».

Система неевклидовых геометрий была впервые построена Феликсом Клейном, который опирался на алгебраическую работу Артура Кэли «On quantics». На прямой возникают три различные метрики: эллиптическая, гиперболическая и параболическая. Аналогично можно ввести метрику углов (в пучке прямых): эллиптическую, гиперболическую и параболическую, комбинируя все возможные типы мероопределения расстояния и углов, получаем 3 x 3 = 9 геометрий на плоскости:

Геометрия Евклида, Галилея, Лобачевского и Минковского входят в систему Кэли-Клейна, что позволяет взглянуть на них с более общих позиций. Каждую геометрию можно охарактеризовать выражением для скалярного произведения векторов. В результате более чем столетней давности работ Кэли и Грассмана в геометрии открылся «королевский путь». Начиная с «Эрлангенской программы» Клейна, стало очевидным единство геометрии и алгебры. Действительно в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и преобразований в нем. Осознание того, что это установившийся процесс переосмысления, позволяет предположить, что «открытия, которые стоили стольких усилий…рискуют превратиться в дальнейшем в игрушки для школьников будущих поколений», — заключает Ж. Дьедонне, один из лидеров группы французских математиков, писавших под псевдонимом Н. Бурбаки.

Дьюрелл моделирует лоренцево сокращение как оптическое сокращение. Действительно каждого, кто смотрел в бинокль на электричку, поражало, что ее вагоны выглядят смешными обрубками (которые чем дальше — тем короче). Место кажущегося схода параллельных рельсов (на горизонте) является с данной точки зрения бесконечно удаленной точкой. Расстояния между шпалами тоже укорачиваются в перспективе, которая формируется хрусталиком глаза (подобно линзе фотокамеры).

Процесс построения перспективного изображения состоит в том, что между глазом зрителя и объектом проводится луч, проходящий через прозрачную картинную плоскость, на которую проектируются точки предметной плоскости. Линия горизонта на картине находится на уровне глаз наблюдателя, На горизонте сходятся параллельные линии. Но они пересекаются между собой лишь в бесконечности.

Это — удивительный факт и вместе с тем, первое, что узнает ученик художественной школы — это как изображать параллельные прямые!

Способ рисования изображен на известной гравюре Дюрера:

Точка пересечения с плоскостью рамки фиксировалась с помощью скрещения нитей, закреплявшихся на ней воском. Затем откидная дверка с бумагой закрывалась и на нее наносилась «пойманная» точка. Позже для этой же цели была придумана камера-обскура (camera obscura — лат. «темная комната»). Изображение создавалось в закрытом ящике на матовом стекле оптическим путем с помощью маленького отверстия (выполнявшего роль объектива). Первое описание этого устройства принадлежит Леонардо да Винчи, бывшему универсальным гением эпохи Возрождения, в которую теория перспективы и оптика не считались разными науками.

Модель Дьюрелла можно рассматривать как преобразование метрики, а каждая метрика «на свой аршин меряет». Это выражение, будучи воспринято буквально, приводит к следующей наглядной аналогии. Утраченный буквальный смысл многих русских поговорок можно восстановить, сделав перевод в метрическую систему мер. Например: «Сидит словно 71,2 см (аршин) проглотил» и «От горшка — 88,9 мм (два вершка)». Но при этом пропадает переносный смысл. Образно говоря, при «переводе» как в модели преломления получается либо одна, либо другая проекция (по принципу: «жизнь или кошелек»). Поэтому следующим шагом будет синтез — переход от отдельных проекций (располагаемых в одной плоскости) к объемному образу. Как известно из математической картографии (смотри, например, «Математическую картографию» Соловьева), гипербола и окружность являются различными проекциями одной и той же окружности (параллели) у находящейся на сфере. При центральном проектировании только горизонтальная (полярная проекция параллелей будет иметь «настоящий» вид окружностей, а их вертикальная (экваториальная) проекция — «искаженный» вид гипербол. Действительно, горизонтальные сечения светового конуса (из центра глобуса) дают окружности, а вертикальные сечения — гиперболы.

Любой боковой ракурс приводит к гиперболизации. На меркаторской карте Гренландия вдвое больше Австралии, тогда как на глобусе — все наоборот.

В этой проекции плюс растянулся на всю ширину карты, поэтому приполярные области («высокие» широты — более 80°) срезаются. Но лучше искаженное видение, чем полная ненаблюдаемость, Заметим, что при проектировании не из центра, а полюса получаются стереографические проекции. Например, в центральной проекции южного полушария экватор и более удаленные точки будут за пределами карты, а в стереографической проекции только северный полюс будет в бесконечности. Геометрический смысл универсальной подстановки tg(a/2) раскрывает тайну ее эффективности при вычислении интегралов.

Поучительна история становления теории оптических инструментов. Она была создана Галилеем. Только на ее основе удалось усовершенствовать подзорную трубу, ибо дело было не в технической невыполнимости, а в отсутствии идеи («в начале был логос»). Направив трубу на небо, Галилей открыл горы на Луне и пятна на Солнце. Сегодня кажутся смешными нападки противников, объявивших эти открытия дефектами в подзорной трубе.

Великий Лейбниц мечтал о том времени, когда будут изобретены очки для разума: «Если изобретение телескопов и микроскопов принесло столько пользы познанию природы, можно легко представить, насколько полезнее должен быть этот новый органон, которым, насколько это в человеческой власти, будет вооружено само умственное зрение.»

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ СУПЕРКРОССВОРД

Уникальным примером является роман-кроссворд М. Павича «Пейзаж, нарисованный чаем. Роман для любителей кроссвордов». Его можно читать «по горизонтали сюжета» или «по вертикалям судеб» в зависимости от намерений. Примером двухмерного учебника, который можно читать «по строкам» или «по столбцам», явилась книга Ч. Линдси и С. ван дер Мюйлена «Неформальное введение в Алгол-68», вышедшая более 20 лет назад Ю. И. Манин назвал это «великим предприятием».