Юный техник, 2000 № 05: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Ждем ваши работы.

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

Из этого отделения выросла вся заочная школа (вначале она так и называлась — математическая).

За время обучения вы более глубоко, чем в обычной школе, сможете осознать основные идеи, на которых базируется курс элементарной математики, познакомиться с некоторыми дополнительными, не входящими сейчас в школьную программу, разделами, а также поучиться решать олимпиадные задачи. На последнем курсе большое внимание уделяется подготовке к сдаче школьных выпускных и вступительных экзаменов в вузы.

На отделении созданы учебно-методические комплексы, приспособленные для заочного обучения. Часть из них издана массовым тиражом.

Окончившие отделение математики получат, в зависимости от желания и способностей, либо подготовку, необходимую для выбора математики как профессии, либо математическую базу для успешного усвоения вузовского курса математики, лежащего в основе профессиональной подготовки по другим специальностям: ведь сейчас математика служит мощным инструментом исследований во многих отраслях человеческой деятельности.

Обучение может длиться от одного до 4 лет, в зависимости от класса. Можно поступить на любой курс. Для этого к сентябрю 2000 года надо иметь следующую базу: на 1-й курс — 7 классов средней школы, на 2-й курс — 8 классов, на 3-й — 9 классов, на 4-й — 10. При этом поступившим на 2-й и 3-й курсы будет предложена часть заданий за предыдущие курсы. Для поступивших на 4-й курс обучение проводится по специальной интенсивной программе с упором на подготовку в вуз.

Для поступления надо решить хотя бы часть задач помещенной ниже вступительной работы (около номера каждой задачи в скобках указано, учащимся каких классов она предназначена; впрочем, можно, конечно, решать и задачи для более старших классов). На обложке напишите, на какой курс вы хотите поступить.

Группы «Коллективный ученик» (на все курсы по любой программе) принимаются без вступительной работы.

Задачи

1. (7 — 10). Длину кирпича увеличили на 20 %, ширину уменьшили на 25 %. Что надо сделать с высотой кирпича — уменьшить или увеличить и на сколько процентов, — чтобы его объем: а) уменьшился; б) увеличился; в) не изменился?

2. (7 — 10). На линейке отмечены три деления: 0, 33 и 47. Как отложить с ее помощью отрезок длиной 1?

3. (7 — 10). Три друга купили вместе один мяч стоимостью 60 руб. Каждый внес не больше, чем двое других вместе. Сколько денег дал каждый?

4. (8 — 10). Пусть ВМ — биссектриса треугольника ABC, причем ВМ = АВ. На продолжении биссектрисы за точку М выбрана такая точка К, что сумма углов ВАК и ВАМ равна 180°. Верно ли, что ВК = ВС?

5. (7 — 10). Разложите выражение (у + z)(z + х)(х + у) + хуz на два множителя.

6. (7 — 10). Пусть Е — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, причем АВ — СЕ, BE — AD, углы AED и BAD равны. Что больше: ВС или AD?

7. (8 — 10). Решите уравнение:

8. (9 — 10). Пусть I — центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC, R и r — радиусы окружностей, описанных около треугольников CIA и CIB соответственно. Найдите гипотенузу АВ.

9. а) (9 — 10). Найдите все тройки неотрицательных чисел (х; у; z), удовлетворяющие системе уравнений:

б) (10). Найдите все тройки чисел (х; у; z), принадлежащие отрезку [0; π/2], для которых:

10. (7 — 10). Пусть один из углов треугольника равен 120°. Верно ли, что треугольник, образованный основаниями его биссектрис прямоугольный?

11. (7 — 10). Представьте число 96 в виде суммы как можно большего количества попарно различных простых чисел. (Напомним, что простым называется натуральное число, большее 1 и не имеющее делителей, отличных от 1 и самого этого числа.)

12. (9 — 10). а) Известно, что значения квадратного трехчлена

ах² + 2Ьх + с

отрицательны при всех значениях х. Докажите, что значения трехчлена

а²х² + 2b²x + с²

при всех значениях х положительны.