Пифагор и его школа: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Языковой барьер был здесь едва ли не самым главным препятствием: чтобы разобраться в вавилонской или египетской математике, нужно было изучать чужой язык и сложнейшую письменность. На Востоке писцов, занимавшихся вычислениями, обучали долгие годы — мог ли грек освоить их за время недолгой поездки? Кроме того, общеизвестно упорное нежелание греков учить чужие языки и вникать в суть чужих учений^{80}. Оно ярко проявляется и в эпоху эллинизма, когда контакты греков с Востоком были гораздо интенсивней, чем раньше: недаром египетским, вавилонским или древнееврейским ученым и философам приходилось писать по-гречески, если они хотели быть доступными для греческой образованной публики. Чужой язык мог выучить человек, которому он был необходим для профессиональной деятельности: лекарь или наемник, служивший при дворе восточного царя, купец, часто бывавший в восточных странах, или греческий колонист, живший в Египте и вынужденный общаться с местным населением. Но даже в позднее время нам неизвестен ни один греческий автор, который бы знал египетский язык и письменность, причем это касается и тех, кто действительно побывал в этой стране и оставил о ней сочинения^{81}. При всем желании нельзя обнаружить ничего египетского в тринадцати книгах Евклида, а ведь он прожил в Александрии большую часть жизни. То же самое можно сказать и о других математиках III в. до н. э. — Архимеде, Эратосфене, Аполлонии из Перги, каждый из которых в принципе мог ознакомиться с математикой Востока.

Нет никаких сведений и о том, чтобы кто-нибудь из греческих ученых знал аккадский язык, на котором написаны математические тексты Вавилона. Отчетливые следы заимствования вавилонских вычислительных приемов и сведений видны лишь с середины II в. до н. э.{82}, уже после того, как появились труды некоторых вавилонских астономов, написанные по-гречески. Фигура же греческого ученого, изучавшего в VI–V вв. до н. э. египетскую иероглифику или аккадскую клинопись в надежде проникнуть в тайны чужих знаний, остается лишь плодом научного воображения и не имеет отношения к реальным контактам между Востоком и Западом в ту эпоху.

Факт путешествия Фалеса в Египет бесспорен, но из него вовсе не следует вывод о его заимствованиях в области математики. Что нам известно о математике Фалеса? О двух теоремах, которыми он занимался, упоминает перипатетик Евдем Родосский, автор нескольких ценных трудов по истории греческой науки (фр. 134, 135). О двух других говорит Прокл, автор весьма поздний (V в.), но черпавший свои сведения из сочинения того же Евдема. Еще одну упоминает писательница I в. Памфила. Эту традицию нельзя отвергнуть как позднее изобретение: уже в V в. до н. э. было хорошо известно о занятиях Фалеса математикой, иначе бы Аристофан не стал называть его в своих комедиях великим геометром (Облака. 180; Птицы. 1009). По всей вероятности, Евдем узнал о теоремах Фалеса из сочинения софиста Гиппия Элидского (вторая половина V в. до н. э.), на которого он сам ссылается (фр. 133).

Согласно сведениям Евдема, Фалес доказывал, что диаметр делит круг пополам, а угол, опирающийся на диаметр, — прямой, утверждал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, открыл равенство углов, образующихся при пересечении двух прямых и, наконец, доказал теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Что из. этого можно соотнести с восточной математикой? — Ровным счетом ничего. Конечно же, Фалесу не нужно было ездить в Египет, чтобы убедиться в том, что диаметр делит круг пополам: этот элементарный факт интуитивно ясен любому ребенку, который делит на две части лепешку или круглый кусок сыра. В равенстве накрест лежащих углов легко удостовериться способом наложения, так же как и в равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Отмечено, что теоремы, приписываемые Фалесу, «либо прямо связаны с проблемой симметрии, и доказываются взаимным наложением, либо такого рода, что первый шаг доказательства явно основан на соображении симметрии, а второй, который приводит доказательство к выводу, является простым сложением и вычитанием»^{83}.

Греки отнюдь не утруждали себя поисками материала для доказательства — они начали с таких вещей, которые до них никому и в голову не приходило доказывать. Как проницательно отмечал один из современных исследователей, «действительно оригинальной и революционизирующей идеей греческой геометрии было стремление найти доказательство «очевидных» математических фактов»^{84}. В этом собственно и заключался переход от практической и вычислительной математики к теоретической науке.

Четыре теоремы Фалеса, связанные с углами и треугольниками, никак не могут соотноситься с египетской математикой еще и потому, что египтяне никогда не занимались сравнением углов по величине и подобием треугольников. Ни у египтян, ни у вавилонян вообще не было понятия угла как измеряемой величины. В отличие от греческой геометрии, в которой углы впервые стали объектом измерения, их геометрия была «линейной»^{85}. (Известное деление круга на 360° появилось в вавилонской астрономии не ранее III в. до н. э.^{86}).

Признавая восточные вычисления первым этапом развития математики, а греческую дедуктивную геометрию — вторым, мы видим в них логическую связь, но следует ли из нее историческая преемственность? Ведь при этом из поля зрения выпадает греческая практическая математика, которая, хотя и не была столь развита, как вавилонская, несомненно включала в себя многие факты, служившие материалом для доказательств первых математиков. Характерно, что вся терминология греческой математики — местного происхождения (за исключением слова «пирамида»), причем многие термины пришли из практической сферы{87}.Это в очередной раз ставит под сомнение реальность заимствований — они, как правило, оставляют свой след и в языке.

Математическая теория отнюдь не обязательно появляется на определенном этапе развития практической математики. Отсутствие теории во всех математиках древности, кроме греческой, показывает, что причины, приведшие к зарождению и последующему развитию с практических вычислений, не могут сами по себе вызвать стремление к дедуктивному доказательству. Если греки начали с доказательства положений, для практики явно бесполезных, значит, импульсы, приведшие к этому, шли из иных сфер общественной жизни.

Дедуктивное доказательство

В поисках истоков строгого логического доказательства, кроме самой математики, обычно называют еще две сферы общественной жизни, в которых оно могло зародиться: 1) философию, 2) политическое и судебное красноречие. Венгерский историк науки А. Сабо полагает, например, что математика VI — начала V в. до н. э. развивалась эмпирическим путем, а дедуктивное доказательство (в частности, доказательство от противного) и основанная на нем математическая теория стали возможны только после изысканий философов элейской школы — Парменида и Зенона (ок. 480–450 гг. до н. э.)^{88}.

На первый взгляд философия оказывается в более удачном положении, чем математика. Первыми дошедшими до нас образцами дедуктивного доказательства считаются фрагменты философской поэмы Парменида и сочинений его ученика Зенона. Парменид выдвигает свое основное положение: бытие есть, а небытия нет (28 В 2–4), из которого логическим образом выводит признаки бытия (неизменность, единство, вневременность и т. д.), и опровергает альтернативные варианты (возникновение бытия, его качественное разнообразие и т. д.). Зенон, опровергая возможность движения и множественности, регулярно прибегает к доказательству от противного (29 А 25, В 1–2). Парменид, вероятно, был первым философом, выдвигавшим свои идеи с опорой на логические доказательства, но изобрел ли он сам дедуктивный метод? Ведь этот метод мог быть воспринят им из математики, в которой он применялся еще со времен Фалеса.

А. Сабо утверждает, что Фалес «доказывал» свои ^теоремы эмпирическим путем, аппелируя к наглядности геометрических чертежей. Действительно, Фалес использовал метод наложения (от которого, кстати, не мог полностью избавиться и Евклид) и опирался на факты, истинность которых в ряде случаев наглядна. Но в том-то и дело, что Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводились к ее демонстрации! Одно из них, сохранившееся у Аристотеля (Перв. Анал. 41 b 13–22), показывает нормальную процедуру логических рассуждений.

АВС — равнобедренный треугольник с вершиной в центре круга. Требуется доказать, что углы при его основании равны. *1 = *2, поскольку оба они являются углами полуокружности; АЗ=А4, поскольку два угла любого сегмента круга равны между собой. Отняв от равных углов 1 и 2 равные же углы 3 и 4, мы получим, что углы САВ и СВА равны между собой.

Заметим, что для наглядной демонстрации достаточно было просто перегнуть пополам папирусный чертеж, однако доказательство Фалеса пошло совсем другим путем.

О дедуктивном характере по крайней мере части математических выводов Фалеса свидетельствует и Евдем. В одном случае он говорит о доказательстве теоремы, в другом — что она была «найдена» Фалесом, в третьем, что тот не дал научного доказательства. У него же мы читаем: «Одному Фалес учил более абстрактным образом, а другому — более чувственным, наглядным» (фр. 133).

Взглянем теперь, каков был уровень математических изысканий в начале второй половины V в. до н. э. Известно, что Демокриту (род. ок. 470 г. до н. э.) принадлежала книга «Об иррациональных линиях и телах», следовательно, к этому времени иррациональность *2 была уже доказана. Выдающийся математик Гиппократ Хиосский (ок. 440 г. до н. э.) занимался популярной тогда проблемой удвоения куба. Ей должна была предшествовать соответствующая проблема в планиметрии — удвоение квадрата, тесно связанная с открытием несоизмеримых отрезков. Из фрагмента Гиппократа о квадратуре луночек — первого дошедшего до нас образца греческого математического текста (Евд. фр. 140) — можно заключить, что он знал немалую часть положений I–IV книг Евклида. (Напомним, что «Начала» Евклида — это собрание предшествующих ему достижений в математике, а не самостоятельное произведение). Ясно также, что они были доказаны еще до него, ибо строгость доказательств самого Гиппократа была оправдана только в том случае, если положения, на которые он опирался, имели ту же логическую форму и завершенность, что и его собственные. Гиппократу же Евдем приписывает первые «Начала», в которых известные на то время теоремы и проблемы были сведены воедино и выстроены в логической последовательности. Все это демонстрирует такую зрелость тогдашней математики, которую нельзя объяснить, полагая, что дедуктивный метод проник в нее из философии только в конце первой половины V в. до н. э.

Б. Л. ван дер Варден убедительно показал, что «Началам» Гиппократа предшествовал раннепифагорейский учебник математики, содержавший основу первых четырех книг Евклида^{89}. Опираясь на эту реконструкцию, подтверждаемую свидетельствами о близости Гиппократа к пифагорейцам (42 А 5), мы вплотную подходим к пифагорейской математике первой трети V в. до н. э., т. е. к тому источнику, откуда Парменид и Зенон могли почерпнуть идею дедуктивного доказательства. Согласно традиции (28 А 1), Парменид был близок к пифагорейской среде (он фигурирует и в каталоге Аристоксена), и у нас, таким образом, есть все основания присоединиться к словам Т. Гомперца: «Система Парменида обязана своей формой математике Пифагора»^{90}.

В истории науки можно найти множество примеров того, как одна научная отрасль заимствует методы, оказавшиеся успешными в других областях знания. Но никто не будет перенимать метод, если его первое применение не дало ощутимых результатов на материале той области, в которой он возник. Между тем дедуктивное доказательство в философии элеатов, да и вообще в философии, отнюдь не обладает той логической убедительностью и неопровержимостью, что и в математике^{91}. Ни Пармениду, ни Зенону не удалось, собственно, ничего доказать, они лишь пытались это сделать. Уже их младшие современники атомисты отвергают идею о том, что небытия (т. е. пустоты) нет — их космос состоит именно из пустоты и движущихся в ней атомов. Не имели успеха (да и не могли иметь) и попытки Зенона опровергнуть возможность движения и множественности, хотя поднятые им проблемы во многом стимулировали развитие философии. Влияние элеатов на последующих философов объясняется глубиной и смелостью их мысли, а не дедуктивным доказательством.

Разве не были восприняты некоторые идеи Гераклита, стиль рассуждений которого очень далек от доказательности? После сравнения весьма скромных успехов дедуктивного метода в философии с тем, что он дал математике, вопрос «у кого он был заимствован?» кажется риторическим.

Не более убедительна и гипотеза, связывающая зарождение дедуктивного доказательства с красноречием, будь то политическим или судебным. Дело даже не в том, что начало риторики принято относить ко второй трети V в. до н. э., а свое полное развитие она получила еще позднее, — в конце концов греки могли аргументированно доказывать свои взгляды и во времена Фалеса. Но там, где речь идет о жизненных интересах людей, логические аргументы не могут иметь решающей силы, — а именно с этой ситуацией мы сталкиваемся в народном собрании и в суде^{92}. В то время как греческая математика отталкивалась в своих доказательствах от вещей очевидных и всеми признававшихся истинными, для политической и судебной аргументации такой общей основы нет. Здесь мы имеем дело не только с фактами, но и с различием взглядов и ценностных ориентаций: то, что очевидно для аристократа, может быть совершенно неубедительным для сторонника демократии. Хорошо известно, что в Греции один и тот же человек часто писал убедительные речи и для истца, и для ответчика, а обвиняемые в тяжелых преступлениях приводили в суд жену и детей, больше надеясь смягчить судей их несчастным видом и плачем, чем своими аргументами. Трудно представить, что в этой атмосфере могло зародиться стремление строго следовать фактам и ни в чем не погрешать против логики.

Итак, можно быть уверенным: математика не заимствовала дедуктивное доказательство у философии или красноречия — оно зародилось в ней самой. В то же время дедуктивный метод в отличие от просто логических рассуждений нельзя считать чем-то внутренне присущим обращению с числами и фигурами: на Древнем Востоке (включая Индию и Китай) математика развивалась, без него. Что же заставило Фалеса искать ее именно дедуктивное доказательство очевидных фактов? Играли ли здесь роль чисто математические соображения или следует искать стимулы, внешние по отношению к математике?

На наш взгляд, наиболее убедительный ответ на эти вопросы дал А. И. Зайцев^{93}. Одно из центральных положений его концепции состоит в том, что в Греции в силу специфических исторических условий впервые в истории человечества получили общественное одобрение все формы творчества, все формы продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишенные непосредственно-утилитарного значения·. Только в такой атмосфере Фалес, влиятельный и богатый человек, мог, не будучи профессионалом (какими были египетские и вавилонские писцы), взяться за доказательство того, что диаметр делит круг пополам. Более того, он не просто взялся, а приобрел на этом поприще общественное признание. Традиция сохранила его имя и донесла до нас суть тех теорем, которыми он занимался (одну из них до сих пор изучают в школе как теорему Фалеса). Значит, общественная и культурная обстановка того времени была такова, что широкую известность получали авторы даже таких открытий, которые не имели практической ценности, — тем самым создавались мощные стимулы для новых поисков в этой области.

Вторым важным фактором А. И. Зайцев считает особый тип соревновательности, присущий греческому обществу того времени, а именно такой, в котором главным признавалась победа, дававшая славу, а не связанные с ней материальные блага — их зачастую могли и не быть. Этот дух чистого соперничества зародился в греческой агонистике (спортивных состязаниях), а затем распространился и на сферы интеллектуального творчества — сначала на литературу, а вслед за ней на философию и науку, удесятеряя силы тех, кто стремился к истине.

Став на путь свободного, не стесненного узким практицизмом исследования, математики очень быстро убедились в том, что добиться общепризнанных и неопровержимых результатов на этом поприще можно, лишь применяя строго логическое доказательство. Эмпирический, вычислительный, метод (в пределах четырех действий арифметики), доступный грекам в то время, не обладал такой убедительной силой и не мог дать столь интересных результатов, следовательно, он был ненадежным средством в достижении успеха. Ведь сколько бы ни измерял Фалес углы при основании равнобедренного треугольника, всегда оставалась возможность возразить, что один из них больше или меньше другого. Иное дело — дедуктивное доказательство: любой скептик мог самостоятельно пройти по всем его этапам и убедиться в его. неопровержимости. История геометрии VI–V вв. до н. э. позволяет нам проследить последовательное вытеснение из нее приемов, опиравшихся в основном на чувственное восприятие, и решительную победу дедуктивного метода. Бесспорность достигнутых с его помощью выводов была настолько очевидна и притягательна, что вслед за математиками к нему обращаются и философы.

Причину «отрыва» греческой геометрий от ее эмпирической основы следует видеть именно в сочетании всех этих факторов, а не в. особых чертах греческого характера (рационализме, ясности, особой одаренности в математике), на которые так часто ссылаются. Высокий уровень вычислительных приемов вавилонян ясно показывает, что природа не обделила их математическими способностями — все дело в том, в каком направлении они использовались.

Математика Пифагора

Вернемся еще раз к вопросу о том, приписывались ли Пифагору научные открытия его учеников, — ведь, по общему мнению, это обстоятельство служит главным препятствием в реконструкции его математики. Допустим, что Ямвлих прав — в таком случае картина пифагоровой математики была бы следующей. 1) Число) открытий, приписываемых Пифагору, явно превышало бы возможности одного человека. 2) С его именем связывались бы открытия, сделанные уже после его смерти и выходящие за пределы доступных ему сведений. Известно, например, что «отцу медицины» Гиппократу Косскому приписываются сочинения, написанные в более позднее время. 3) Одни и те же открытия связывались бы и с Пифагором, и с некоторыми из его учеников. Именно так дело обстоит с «Послезаконием» — продолжением платоновских «Законов»: в разных источниках его автором называют то Платона, — то его ученика Филиппа Опунтского..

Соответствует ли реальности эта картина? Обратимся сначала к наиболее ранней части традиции — авторам IV в. до н. э.

1. В речи «Бусирис» Исократ утверждал, что Пифагор заимствовал свою философию у египтян, точнее, у египетских жрецов (Бус. 28). Это, разумеется, выдумка Исократа, но чрезвычайно интересно то, как описывалась им «жреческая философия». Она (помимо всего прочего) состояла в изучении геометрии, арифметики и астрономии (Бус. 23). Все это, конечно, не имеет отношения к деятельности жрецов, но хорошо согласуется с тем, что говорят другие источники о бытовании этих дисциплин в пифагорейской школе. Очевидно, что Исократ проецировал на жрецов то, что знал о пифагорейцах.