Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Эту на первый взгляд простую теорему можно доказать несколькими способами. Однако истинный ключ к ней дает история математики: теорема Фалеса стала одной из первых сопровождавшихся рассуждениями, целью которых было подтвердить правильность теоремы в общем случае. Иными словами, теорема сопровождалась доказательством в его классическом понимании. Доказательство — не более чем логическое рассечение утверждения на ряд универсальных и очевидных истин. Чтобы понять всю важность этого первого в истории доказательства, теорему Фалеса нужно сравнить с математическими рассуждениями древних египтян или жителей Месопотамии, то есть вновь обратиться к истории математики. Если мы будем знать контекст той эпохи, теорема Фалеса уже не покажется нам столь примитивной. Мы даже сможем почувствовать, насколько концептуально близкими были греки к некоторому примитивизму, который мы находим в математических рассуждениях египтян или вавилонян. Будет уместно привести фразу, которую Харди как-то сказал Литлвуду: «Греческие математики не были одаренными школьниками — они принадлежали к другому университету». Подобно Венере Виллендорфской, теорема Фалеса имеет историческую ценность, и знание этой ценности позволяет оценить ее с эстетической точки зрения.

Существуют и другие причины, по которым следует уделить внимание истории теоремы. Эти причины имеют отношение к математике в эмоциональном контексте — я имею в виду эпизод с принесением в жертву буйвола. Хотя Диоген Лаэртский приписывает это жертвоприношение Фалесу, большинство классических историков считают, что гекатомбу принес Пифагор, открыв свою знаменитую теорему. Как гласит словарь, гекатомба — это «жертвоприношение из 100 быков в Древней Греции».

Гекатомба Пифагора была более скромной, в жертву определенно не было принесено сто быков — тем не менее различные авторы, среди которых Вергилий, Цицерон, Плутарх, Диоген Лаэртский и другие, упоминают об этом жертвоприношении, хотя и расходятся во мнении, кто именно его совершил: Пифагор или Фалес. Эти жертвы были наполнены множеством скрытых смыслов, связанных с основными жизненными потребностями людей, их неизбывным страхом или самыми сокровенными заботами и опасениями. Не будем забывать, что гекатомбы изначально обладали религиозным, магическим и мистическим значением. Они приносились, чтобы избежать бедствий и отвести проклятие богов, выиграть войну или положить конец голоду или болезням.

И тот факт, что гекатомба подробно описывается в связи с простой геометрической теоремой, должен навести читателя на определенные мысли. Кто-то скажет, что гекатомбы, приписываемые Пифагору или Фалесу, не имеют достаточных исторических доказательств, вполне возможно, что они являются всего лишь легендой. Но в этом случае следует задуматься еще больше: почему Витрувий, Цицерон, Плутарх, Диоген Лаэртский и многие другие авторы, серьезные и занятые люди, потрудились придумать или передать потомкам легенду (к тому же довольно кровавую), чтобы восславить нечто столь незначительное, как открытие математической теоремы? Почему они связали результат интеллектуального труда, давший начало всей древнегреческой математике, это исключительно абстрактное явление с таким эмоциональным событием, как жертвоприношение?

Как и в случае с греческой скульптурой, понять развитие греческой математики, ее путь от первых теорем до тех высот, которых она достигла позднее, нам поможет история. Путь, пройденный древнегреческой математикой, можно оценить в полной мере, если сравнить теорему, о которой мы рассказали выше, с решением задачи о вычислении площади сегмента параболы, которое привел Архимед (об этой задаче мы рассказали в главе 1).

Чтобы определить эстетическую ценность чего-либо, что кажется менее красивым, чем древнегреческая синтетическая геометрия, например позиционной системы счисления или элементарных методов алгебры, как и для того, чтобы оценить романскую скульптуру, будет полезно узнать, что в этих случаях эстетика заключена в символическом потенциале простоты. Если хорошо подумать, то мы поймем, что зачастую простота есть не более чем продукт нашего образования: наша система счисления кажется нам простой, потому что мы изучали ее в начальной школе.

Но для древних греков, которым была практически неизвестна алгебра, наша система счисления показалась бы крайне сложной. Как можно оценить концептуальную сложность системы счисления или алгебры, не зная, сколь медленным и трудным был исторический процесс ее появления и развития? Может быть, мы оценим греков по достоинству, если будем знать, какую важную роль они сыграли в XVII веке, при создании намного более сложных разделов математики, в частности аналитической геометрии и, позднее, дифференциального и интегрального исчисления?

Даже для того чтобы оценить эстетику анализа бесконечно малых, необходимо знать его историю. Нужно знать, что для его создания потребовалось совершить несколько шагов вперед относительно древнегреческой математики, знать, каким был вклад анализа бесконечно малых в научную революцию, которая произошла в Европе в XVI–XVII веках и благодаря которой наука достигла таких успехов. Наконец, нужно знать, какое влияние анализ бесконечно малых оказал на развитие не только математики, но и физики.

Гомбрих в своей «Истории искусства» писал, что современное искусство, как и любое другое, возникло в ответ на вставшие перед ним проблемы. Так, революционные процессы, столь радикально изменившие искусство начиная с середины XIX века, были запущены тогда, когда художники задались вопросом: почему они ограничивались максимально точным изображением того, что видели перед собой, будь то пейзаж или группа людей? Тогда же возник вопрос о том, какова истинная функция художника. Кто он — безмолвный свидетель, который должен точно передавать то, что он видит, подобно фотокамере, или действующее лицо произведения, отражающее в картине прошлый эмоциональный опыт? Используя творческую свободу художника в качестве одного из главных аргументов, искусство склонялось в пользу второй точки зрения. В результате возник новый мир, который часто критиковали, порой не ценили и не понимали. Друг друга последовательно сменяли импрессионизм, экспрессионизм, абстракционизм, авангард, экспериментальное искусство и так далее.

Для эстетической оценки этого нового искусства, сложного, иногда странного и даже сумасбродного и как никогда изменчивого, история искусства почти так же важна, как способность видеть.

В XIX веке в математике тоже начался процесс последовательного абстрагирования, кульминацией которого стало помещение практически всей математики в атмосферу теории множеств, на первый взгляд стерильную и инертную. Великим вдохновителем этого процесса был немецкий математик Георг Кантор, а движущей силой — жажда понять и обуздать страшнейшее из математических чудовищ — бесконечность. Словно бы доказывая, что определенные закономерности объединяют даже наиболее далекие друг от друга аспекты одной культуры, словно подтверждая фразу Марселя Пруста о том, что все существующее одновременно есть кажущееся, эволюция математики весьма схожа с процессами, которые происходили в живописи, скульптуре, архитектуре, музыке и литературе. Не напрасно девиз Кантора «суть математики — в ее свободе» содержал отсылку к идее, приверженцами которой являются художники, скульпторы и композиторы.

Бесконечности, ее укротителю Кантору и, разумеется, обстоятельствам, сопутствующим этой истории, посвящены последние страницы этой книги.

Бесконечность можно сравнить со змеиным гнездом: лишь по прошествии нескольких тысяч лет, пережив несколько болезненных укусов, человек осмелился опустить в это гнездо руку. Бесконечность — продукт логической структуры нашего мозга. Эта структура обладает способностью создавать понятия путем отрицания уже известных. На основе того, что воспринимают наши органы чувств, естественным образом возникает понятие конца, границы, финала, то есть конечного, имеющего предел.

К понятию бесконечного мы приходим через отрицание конечного, а не на основе чувств или ощущений. Парадоксально, что хотя бесконечность является продуктом логической структуры нашего разума, она обнаруживает некоторую несовместимость с логикой, точнее со здравым смыслом, который часто путают с логикой. Здравый смысл неизбежно находится под влиянием информации, поступающей от органов чувств, а эта информация обязательно тем или иным способом отражает понятие конечного или ограниченного. Таким образом, бесконечность едва ли имеет отношение к здравому смыслу, и неудивительно, что она сильно пугала греков, для которых логика и здравый смысл были основой культурной революции.

История об Ахиллесе и черепахе, логическая головоломка Зенона Элейского о делимости и движении, столь же глубоко укоренилась в массовом сознании, что и теорема Пифагора, «Дон Кихот» или Девятая симфония Бетховена. В своем парадоксе Зенон тайком использовал бесконечность. Отзвуки бесконечности слышны и в пифагорейском кризисе, причиной которого стало открытие иррациональных чисел: так, нельзя было представить в виде дроби, и чтобы точно выразить значение этого числа, требовалось записать бесконечно много знаков.

История об Ахиллесе и черепахе отражает представление древнегреческого философа Зенона Элейского о бесконечности. На иллюстрации изображен кадр из фильма Такеши Китано с одноименным названием.

Однако бесконечность была продуктом логики, и появилась она благодаря возможности определять новые понятия через отрицание уже известных. Более того, бесконечность была приятной на вид: некоторые математические объекты очевидно плохо уживались с понятиями конечного и ограниченного. Это и числа, которых настолько много, что им нет конца (это подтвердит любой), и прямые линии, которые всегда можно мысленно продолжать бесконечно.

Учитывая контекст, сопровождающий бесконечность, в котором абсурдное и, как следствие, скандальное и полемичное смешалось с разумным, неопровержимым, пусть и едва заметным, греки разделили бесконечность на две части: первая, потенциальная бесконечность, была приемлемой, вторая, актуальная бесконечность — отвратительной и ненавистной. Непреходящий аристотелевский «здравый смысл» стал тем ножом, которым чудовище было рассечено надвое. Отрицать существование бесконечных процессов невозможно (так, мы можем последовательно делить отрезок пополам бесконечное число раз, а последовательность чисел бесконечно велика), и Аристотель в книге III «Физики» описал природу потенциальной бесконечности так: «много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного», таким образом, «о бесконечном можно говорить в возможности», то есть «бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием». Бесконечность сама по себе, как нечто завершенное, по Аристотелю была запретной: «Невозможно, чтобы бесконечность существовала в действительности как нечто сущее либо как субстанция и первоначало. […] величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой». По Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограниченное число раз. Однако использование актуальной бесконечности противоречило и Евклиду, который включил в «Начала» такую аксиому: «Целое больше, чем каждая из его частей».

* * *

Архимед, каким его увидел художник Хосе де Рибера (1591–1652).

* * *

Эта аксиома порождена нашими интуитивными представлениями о конечном и ограниченном. Лучше других объяснить несовместимость бесконечного и этой аксиомы Евклида сумел Галилей в своих «Беседах» (1638). Так как каждое число порождает квадрат: 2 порождает 4, 3–9, 4 — 16 и так далее — а каждый квадрат, в свою очередь, порождается единственным числом, Галилей указал, что мы можем объединить в пары числа и соответствующие им квадраты, заключив, что чисел и квадратов будет одинаковое количество. Тем не менее очевидно, что квадратные числа — лишь часть множества чисел (так, 2, 3, 5, 7 — числа, но не квадраты), то есть чисел больше, чем квадратов, целое больше его части. Мы столкнулись с парадоксом: чисел одновременно столько же, сколько их квадратов, и одновременно больше, чем квадратов. Галилей сделал вывод: «понятия «больше», «меньше» и «равно» неприменимы к бесконечному».

Связь христианского Бога с бесконечностью помогла преодолеть древние страхи перед ужасным чудовищем, и бесконечность, как потенциальная, так и актуальная, в XVII веке окончательно расположилась в центре математики. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но они перевели это понятие в область богословия. Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую, актуальную бесконечность, такая трактовка часто встречается и в трудах философов XVII века. Не будем забывать, что некоторые из них были учеными, в том числе математиками. Подтверждение мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), т. е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», и также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».

Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И никакое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность, ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений природы: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: почему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной, если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?

Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».

И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский (ок. 1224–1274), и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт (1596–1650), сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.

Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор (1845–1918). Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное математическое чудовище.