Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Эта история произошла в 212 году до н. э., спустя пять лет после взятия Сагунта войсками Ганнибала, что стало началом Второй пунической войны. В этом году основные военные действия переместились на Сицилию, в частности в Сиракузы — город, дружественный Карфагену, который в то время осаждали войска римского генерала Марка Клавдия Марцелла. Рим хотел взять остров под контроль и захватить урожай зерновых. Штурм Сиракуз завершился неудачей. Только после длительной осады город сдался армии Марцелла, и римские солдаты занялись грабежами и разбоем. Во время этих беспорядков и был убит Архимед, которому в то время уже перевалило за 70. Римский писатель Валерий Максим спустя два столетия так описывал это событие:

«Римский солдат, ворвавшийся в дом Архимеда, чтобы ограбить его, направил на ученого меч и спросил его, кто он такой. Архимед, целиком погруженный в решение задачи, не назвал себя и, указав на линии, проведенные на песке, сказал: «Пожалуйста, не трогай моих чертежей». Солдат, услышав в ответе ученого оскорбление, отрубил ему голову, и кровь Архимеда смешалась с плодами его науки».

На этой мозаике, найденной на раскопках Помпеи, изображен римский солдат, который через мгновение обезглавит Архимеда, и кровь ученого прольется на его чертежи.

Смерть Архимеда следует считать трагической случайностью, так как генерал Марцелл приказывал найти мудреца и сохранить ему жизнь. Плутарх в I веке так описывал этот эпизод в своей «Жизни Марцелла»: «Нельзя усомниться в том, что Марцелл очень сожалел об этом и, извергая проклятия, приказал привести к нему солдата, который убил Архимеда. Затем Марцелл повелел разыскать родственников Архимеда и окружить почетом»[2].

Марцелл проявлял интерес к Архимеду не потому, что тот был известным математиком: Архимед также был видным инженером. По легенде, он обладал сверхъестественным даром изобретательства, и его считали почти полубогом: «Все тайны Вселенной были известны Архимеду, — пишет Силий Италик в своей поэме «Пуника» (I век). — Он знал, когда неяркие лучи нарождающегося солнца предвещают бурю, неподвижна ли Земля или вращается вокруг оси, почему море, распростершееся по земному шару, приковано к его поверхности, почему возникают волны на море и каковы фазы Луны, какому закону подчиняются океанские приливы и отливы. Он стал известен тем, что сосчитал, сколько песчинок на Земле; он, кто смог снять с мели галеру силами одной женщины; он, кто поднял гору камней против уклона земли».

У Плутарха мы также находим упоминание легендарной способности Архимеда использовать рычаги: «Архимед как-то раз написал царю Гиерону, с которым был в дружбе и родстве, что данною силою можно сдвинуть любой данный груз; как сообщают, увлеченный убедительностью собственных доказательств, он добавил сгоряча, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, он сдвинул бы с места нашу»[3].

* * *

Фрагмент фрески Джулио Париджи конца XVI века, на которой изображена одна из хитроумных военных машин, созданных Архимедом.

* * *

Живительнее всего то, что Архимед использовал рычаги не только для перемещения огромных весов — он применил рычаги в чистой геометрии и провел с их помощью сложные расчеты, в частности вычислил площадь сегмента параболы. О решении этой задачи мы расскажем чуть позже, а сначала приведем еще несколько историй об Архимеде.

Легенды об Архимеде

Хотя Архимед был умелым инженером, по легенде, его больше всего интересовали теоретические задачи геометрии. «Архимед, — пишет Плутарх, — был человеком такого возвышенного образа мыслей, такой глубины души и богатства познаний, что о вещах, доставивших ему славу ума не смертного, а божественного, не пожелал написать ничего, но, считая сооружение машин и вообще всякое искусство, сопричастное повседневным нуждам, низменным и грубым, все свое рвение обратил на такие занятия, в которых красота и совершенство пребывают не смешанными с потребностями жизни». И действительно, неизвестно никаких исследований Архимеда, посвященных военным машинам, однако следует учитывать, что множество его работ утрачены, а в сохранившихся можно увидеть практическую направленность — например, Архимед доказал, что число π чуть меньше 22/7 и чуть больше 223/71. Он вообще выделялся на фоне остальных математиков Древней Греции, а благодаря решению некоторых задач стал героем легенд и анекдотов.

Кто не знает изречений «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю» или «Эврика!»? Очевидно, что все они хотя бы отчасти соответствуют действительности. Вспомним известную легенду, в которой рассказывается, как Архимед смог определить, из чистого ли золота сделана корона царя Гиерона, использовав разницу плотности золота и серебра. Решив задачу, Архимед издал всем известный возглас «Эврика!», который позднее стал боевым кличем ученых. Витрувий в девятой из «Десяти книг об архитектуре» рассказывает эту историю так: «Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий, решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотой венец, он заказал сделать его за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении венца в него было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он, не медля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика!»[4]

* * *

Гравюра конца XVI века, на которой изображена знаменитая история «Эврики!» Архимеда.

* * *

Эта история, как и все ее версии, не совсем верна с научной точки зрения. Как в свое время совершенно справедливо заметил Галилей, опыт Архимеда, несомненно, был намного точнее, чем это описано в исторических анекдотах. Очевидно, что если бы Витрувий включил в свой рассказ подробное изложение опыта Архимеда, его история утратила бы часть своей привлекательности, так как образ нагого ученого, кричащего «Эврика, Эврика!», привлекает намного большее внимание, чем образ того же ученого, склонившегося за рабочим столом.

Легенду, согласно которой Архимед сжег римские военные корабли с помощью зеркал, решительно можно считать художественным вымыслом. В исторических источниках, ближайших по времени к эпохе Архимеда, его подвиги как военного инженера описываются в возвышенных тонах и с большими преувеличениями, однако зажигательные зеркала не упоминаются. Вероятно, этот эпизод был добавлен к историям о чудесных боевых машинах Архимеда позже, тем более что он вряд ли располагал необходимыми технологиями для изготовления таких зеркал. Возможно, он знал, как их можно сделать, и по этой причине изобретение приписывается именно ему.

Гравюра, посвященная легендарному изобретению Архимеда — зажигательным зеркалам, с помощью которых он сжег вражеские корабли при осаде Сиракуз.

Точнее говоря, Архимед, разумеется, знал, что зеркало в форме параболоида вращения фокусирует солнечные лучи в определенной точке, называемой фокусом. Для тех читателей, кто не знаком с параболоидом вращения, укажем, что это поверхность, получаемая вращением параболы вокруг оси.

Архимед доказал несколько удивительных утверждений о параболах. Одно из них, касающееся квадратуры параболы, мы используем в качестве примера, показывающего, как гармоничное сочетание математических идей рождает красоту в математике.

Квадратура параболы

Парабола входит в число конических сечений, то есть кривых, получаемых сечением конуса плоскостью. В зависимости от расположения этой плоскости сечением конуса будет окружность, эллипс, гипербола или парабола. Последнюю мы получим, когда секущая плоскость расположена параллельно образующей конуса.

Полное фото семейства: конус и его отпрыски.

Греки попытались решить задачу о квадратуре для областей, ограниченных каждой из этих кривых, с помощью циркуля и линейки. В случае с окружностью и эллипсом они потерпели неудачу, так как для вычисления искомой квадратуры требовалось знать точное значение числа π. Неудача постигла их и при вычислении квадратуры гиперболы, так как для этого требовалось рассчитать логарифмы. Однако им удалось квадратуру параболы — это сделал Архимед тремя разными способами, один удивительнее другого. Рассуждения Архимеда изложены в его труде под названием «Метод» — об удивительной истории этой книги мы расскажем позже.

[2] Перевод С. П. Маркиша. — Примеч. ред.

[3] Здесь и далее перевод С. П. Маркиша. — Примеч. ред.

[4] Перевод Ф. А. Петровского. — Примеч. ред.