Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых. : читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Для многих математиков критерии сходимости, которыми они пользовались, были основаны на том, чтобы найти частичные суммы ряда членов, например п членов. Они пытались найти упрощенное выражение, связанное с гг, а затем изучить, что произойдет, если число членов возрастет до бесконечности. Но не все математики были согласны с данным подходом, поскольку появлялись так называемые логические парадоксы, то есть ряды, расходящиеся при одном методе, а при применении других методов — наоборот.

Один из главных парадоксов того времени был связан с нахождением суммы знакочередующегося ряда, в котором an = 1 для любого n. То есть речь идет о ряде:

_∞

∑(-1)ⁿ = 1-1+1-1+1-1+1-1+...

ⁿ⁼¹

Если взять четное число членов, частичная сумма равна 0, в то время как если взять нечетное число, частичная сумма равна 1. Лейбниц в итоге присвоил этой сумме значение 1/2.

Простое рассуждение для получения этого решения следующее:

5=1-1 + 1-1 + 1-1 + 1 -... = 1 - (1-1 + 1-1 + 1-1 +...) = 1-S,

откуда после упрощения получается 2S = 1, и, следовательно, искомая сумма равна S = 1/2.

Во время визита к Роберту Бойлю Пелл указал Лейбницу на то, что математик Франсуа Рейно уже опубликовал общий метод прерывания рядов с помощью разностей. Ученый ознакомился с данным исследованием, выяснил, что его метод отличается от метода Рейно, и написал свою работу для представления в Королевском обществе. Однако эта работа была встречена довольно холодно, и его даже обвинили в плагиате. Сам Лейбниц позже признал, что там действительно не содержалось никакого нового результата, а вся изюминка заключалась в новом представленном методе.

Провал работы заставил ученого понять, что ему очень не хватает математических сведений: он не знал о многом из того, что уже было опубликовано. Поэтому Лейбниц потратил почти год на самосовершенствование в этой области.

Когда Лейбниц покидал Париж, он уже был советником герцога Ганновера, то есть занимал должность, оставшуюся за ним до конца жизни. С 1677 года Лейбниц стал тайным советником герцога Иоганна Фридриха: это была наиболее ответственная и оплачиваемая должность. Решив свои финансовые проблемы, ученый смог использовать возможности, которые давало ему его новое положение, для исследования интересующих его научных проблем. Сначала Лейбниц нехотя согласился на эту должность, но позднее выражал свое удовлетворение ролью, которую играл.

Став библиотекарем герцога, он начал расширять библиотеку, заполняя ее книгами из всех самых важных областей знания, больше заботясь о качестве, чем о количестве, для чего использовал собственный опыт и связи в ученом мире. Новое

занятие позволяло ему ездить в другие города в поисках интересных книг для герцогской библиотеки. Например, в 1678 году Лейбниц посетил Гамбург, чтобы купить библиотеку Мартина Фогеля, последователя немецкого ученого Иоахима Юнга.

По возвращении он написал для герцога ряд сочинений на такие разнообразные темы, как улучшение государственного управления, организация архивов, практика сельского хозяйства и работа на фермах. В них Лейбниц доказывал, что, заботясь об увеличении благосостояния народа, нужно иметь четкое представление об имеющихся в распоряжении ресурсах, как человеческих, так и природных. Кроме того, он изложил герцогу идею, которая только начинала зарождаться в его голове: создать в Германии академию наук. Лейбниц даже представил ряд изобретений, предназначенных для повышения эффективности горнодобывающей промышленности, таким образом намереваясь получить средства на создание этого учреждения.

Несмотря на то что Лейбниц обосновался в Ганновере, он не потерял связи с образованными людьми и учеными Лондона и Парижа. Он продолжал получать информацию о достижениях науки и вел переписку с влиятельными людьми своего времени. Например, в то время ученый переписывался с Анри Жюстелем (1620-1693), который был секретарем короля Франции, хотя позже и переехал в Англию. Для Жюстеля Лейбниц осуществил небольшое исследование истории графского рода Ловенштайн. Это была первая написанная им историческая работа.

Герцога Иоганна Фридриха сменил его брат Эрнст Август (1629-1698), герцог Брауншвейг-Люнебургский, который позже стал первым курфюрстом Ганновера, то есть одним из тех, кто имел право участвовать в выборах императора Германии.

После прибытия в Ганновер Лейбниц познакомился также с Софией (1630-1714), супругой Эрнста Августа. Она была дочерью Фридриха V, короля Богемии, и Елизаветы Стюарт, принцессы Баварии, Шотландии и Англии, а также внучкой Якова I, короля Англии (он же Яков VI, король Шотландии). Следовательно, София являлась претенденткой по прямой линии на трон Великобритании как самая прямая протестантская наследница королевы Англии, и только ее смерть за два месяца до кончины королевы Анны Стюарт помешала ей взойти на трон. Ее сын Георг Людвиг позже стал королем Англии под именем Георга I и основателем Ганноверской династии.

Отношения между Лейбницем и Софией становились с годами все более близкими и в итоге вылились в крепкую дружбу. Принцесса очень интересовалась интеллектуальной деятельностью во многих сферах, которые она часто обсуждала с Лейбницем, что подтверждает существующая обширная переписка.

Должности Лейбница были сохранены. Он написал доклад для нового герцога, где сообщал о деталях своей карьеры и о ряде проектов, которые задумал. Лейбниц предложил дополнить герцогскую библиотеку лабораторией и музеем, а также создать герцогскую типографию. В документе, направленном первому министру Францу Эрнесту фон Платену (1631- 1709), он предложил свои услуги для составления истории династии Брауншвейг-Люнебург. Лейбниц явно не представлял себе, в какие дебри забирается, поскольку это исследование будет преследовать его всю оставшуюся жизнь.

Несмотря на многочисленные задания, которые он получал от герцога, у Лейбница были силы и способность заниматься исследованиями во многих областях науки. В 1681 году Отто Менке посетил Ганновер и встретился с Лейбницем, чтобы поговорить об издании журнала "Акты ученых". Менке также попросил коллегу прислать одну из своих работ для публикации в журнале. Кроме собственных исследований, Лейбниц также писал рецензии на другие сочинения, как, например, на труд Джона Уоллиса по алгебре или на работу математика Жака Озанама, в которой он представлял свои тригонометрические таблицы.

Он продолжал писать сочинения для герцога в абсолютно разных сферах. Например, Лейбниц исследовал методы улучшения организации армии и повышения ее боевого духа и продумывал способы сохранения физического и психического здоровья солдат. Для этого ученый предлагал снабдить их продовольствием, одеждой и подходящими лекарствами, а также использовать их в мирное время на общественных работах, таких как строительство сооружений, дренаж болот и проведение канализации, что сделало бы более сносной рутину военных тренировок. Кроме того, Лейбниц представил проект профилактических средств для борьбы с эпидемией, которая в то время терзала Европу, поскольку врачам не удалось найти никаких средств против нее. Он предложил помешать перемещению зараженных людей и изолировать их.

По поручению герцогского советника Отто Гроте Лейбниц подготовил меморандум об увеличении числа курфюршеств в Германии. В то время существовало восемь курфюршеств — пять католических и три протестантских. В своей работе ученый отстаивал необходимость создания девятого, протестантского. Через несколько лет, в 1692 году, герцог Эрнст Август был объявлен курфюрстом. Лейбниц участвовал в проекте от начала и до конца и после предоставления герцогу избирательного права создал памятную медаль, а также подготовил речь, содержащую исторический обзор, которую зачитал Отто Гроте на процедуре получения титула от императора.

По сути Лейбниц принимал участие в любом политическом деле в Ганновере. Во время одной из поездок в Италию ученый по просьбе принцессы Софии добился политического альянса посредством брака между Шарлоттой Фелицитас, старшей дочерью герцога Иоганна Фридриха, с герцогом Ринальдо из Модены, а также помолвки младшей дочери герцога, Вильгельмины, с королем Венгрии и будущим императором Иосифом I Габсбургским.

Кроме научных исследований самой важной задачей Лейбниц в эти годы была, как мы уже сказали ранее, разработка истории династии Брауншвейг-Люнебург для герцога. Лейбниц считал, что история и генеалогия стали науками и поэтому для них необходима достоверная документация, основанная на первичных источниках и работах авторов эпохи. Таким образом, ученый добился у герцога пожизненной пенсии и освобождения от обычных обязанностей, чтобы посвятить себя исключительно этому делу.

Кроме того, в то время Лейбниц уже совершил открытие, с которым вошел в историю как один из самых выдающихся математиков: анализ бесконечно малых.

Ученые Древней Греции создали математику как науку. Предыдущие цивилизации использовали ее для решения практических проблем повседневной жизни. Например, египтяне пользовались теоремой Пифагора для построения прямого угла и с ее помощью могли восстанавливать границы полей, затопленных Нилом. Для греков занятие математикой было самоцелью, их не волновало ее практическое применение. Это не означает, что они также не использовали свои знания для нахождения решений в конкретных ситуациях, но они четко разграничивали, как мы могли бы сказать, теорию и практику. Например, древнегреческие ученые различали арифметику, то есть абстрактную теорию чисел, и логистику, что по- гречески означало "счетное искусство", то есть прикладную арифметику. Они считали важным изучение математики как таковой и посвящали этому свои работы, но в известной степени презирали прикладную математику, с помощью которой решались каждодневные задачи.

В более позднюю эпоху, во время расцвета Александрии, греческие ученые, продолжая культивировать чистую науку, начали развивать и ее прикладную часть. Александрийцы изобрели насосы, чтобы поднимать воду из колодцев, шкивы и системы зубчатых передач, чтобы передвигать большие грузы; они использовали силу воды и пара для движения машин, огонь, чтобы заставить статуи двигаться, или сжатый воздух, чтобы бросать предметы на большие расстояния.

В то время как в предыдущих цивилизациях знания приобретались с помощью опыта, индукции или экспериментов, древнегреческие ученые развивали дедукцию. На основе ряда понятий выводились новые умозаключения при применении строгих дедуктивных правил рассуждения. Например, Аполлоний (ок. 262-190 до н. э.) в своей книге "Конические сечения" представил 487 пропозиций, выведенных из аксиом, собранных в "Началах" Евклида. Главной целью ученых Древней Греции было желание понять физический мир, они считали математические законы основой природы и полагали, что эти законы необходимы для изучения Вселенной. Это был критический и рациональный способ познания природы.

Древнегреческие математики должны были доказывать свои рассуждения исчерпывающе, не оставляя возможности для каких-либо лазеек. К такому подходу математика вновь обратилась только в XIX веке, и именно благодаря ему древнегреческие работы были настолько совершенны, что невозможно было понять, как получались столь удивительные результаты. Считалось, что определенную роль сыграла изобретательность древнегреческих ученых, некая счастливая мысль, которая помогала им прежде прийти к заключению, а уже потом исчерпывающим образом его доказать. Многие математики начиная с эпохи Возрождения были убеждены в том, что ученые Древней Греции владели каким-то секретным методом. Это видно из следующего комментария Декарта: