Параллельный перенос вектора. Критика: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

"На рисунке начальное положение вектора обозначено цифрой 1 (северный полюс). Он обносится параллельным образом (положения 2, 3, …) вокруг сферического треугольника, все углы которого равны 90^o. По возвращении в исходную точку вектор (положение 4) оказывается повернутым на 90^o:

(положительна; направление поворота совпадает с направлением обхода) [8, т.1, с.412]".

Рис.1. Паралельный перенос вектора [8, т.1, с.412]

Гауссова кривизна γ_G в рассмотренном случае сферической поверхности определена как отношение площади, обойденной вектором, к углу поворота вектора, когда он вернулся в исходную точку [8, т.1, с.412]. В примере с треугольным контуром, действительно, получается вполне осмысленная величина кривизны – 1/a², где а – радиус сферы:

Как видим, и в этом случае при обходе по замкнутому контуру результирующий вектор не совпал по направлению с исходным. Хотя на рисунке это не очень заметно, но в предпоследней точке 3 направление вектора в точности совпадает с последним направлением 4 при обходе треугольника. Тем не менее, и в данном случае возникает вопрос по изображению векторов. Судя по всему, векторы в точках 2 и 3 направлены точно по сторонам треугольника, то есть, по определению параллельны друг другу. Однако они изображены слишком короткими отрезками, поэтому на рисунке не совсем ясно, лежат ли они на поверхности сферы? На плоском пространстве поверхности сферы возможны лишь векторы, полностью совпадающие с этой поверхностью.

В случае сферического треугольника вектор, как показано на рисунке, при переносе изменил своё направление. Но что будет, если взять квадратный или прямоугольный контур? Как видно на рис.2а при таком переносе итоговый угол φ = 0, поэтому кривизна оказывается равной нулю. Получается, что метод не вполне корректен, поскольку даёт для одной и той же поверхности при использовании одного и того же правила разные значения.

Немного доработаем рисунок, чтобы устранить эту неопределенность с направлениями вектора. Будем считать, что исходный вектор 1, векторы 2, 3 и 4 касательны к дугам 1-2 и 3-4, то есть, к боковым сторонам треугольника, вдоль которого они переносятся. Именно это и означает их параллельность.

Поскольку мы вправе произвести параллельный перенос вектора по произвольному маршруту, то мы добавим ещё один отрезок, превратив сферический треугольник в сферический квадрат (вернее, криволинейный четырехугольник). И сразу же обнаруживаем, что наш вопрос возник, вообще-то, не на пустом месте. Мы видим два переноса вектора по ортогональным к меридианам линиям – 2-3 и 4-1. Вновь возникает вопрос: почему при переносе по параллели 2-3 вектор остался коллинеарным своим меридианам 1-2 и 3-4, а на отрезке 4-1 нет? Логического оправдания такого различия, похоже, не существует.

Рис.2. Паралельный перенос вектора на сфере

Для наглядности на рисунке 2а добавлены промежуточные меридианы – параллельные линии, с которыми вектор обязан совмещаться при параллельном переносе. Штриховые стрелки показывают направление обхода, а тонкие стрелки – промежуточные положения переносимого вектора. Хорошо видно, что при возвращении в исходную точку вектор сохранил своё исходное направление – вдоль меридиана.

Надо заметить, что полученный результат не только противоречивый, но и странный. Выходит, что такой метод внутреннего определения кривизны пространства не вполне корректен? Мы точно знаем, что сфера – это искривленное пространство. Но поворот вектора, возникающий при параллельном переносе по замкнутому контуру и считающийся признаком кривизны поверхности, отсутствует. То есть, кривизны нет? Но мы же в исходном варианте с треугольной траекторией отчетливо видели – вектор испытал поворот. Почему возникло такое несоответствие?

Чтобы выяснить причину расхождений, проделаем следующее. Уменьшим длину верхней параллели, то есть, переместимся на более высокую широту, следующую параллель, которые показаны штриховыми линиями на рисунке 2b, и вновь произведем перенос вектора по образовавшемуся контуру. Очевидно, что результат будет таким же – вектор вернётся точно в исходное состояние. Ещё уменьшим длину верхней параллели и вновь перенесём вектор. Результат прежний. Будем уменьшать верхнюю параллель до тех пор, пока она не сожмётся в точку. Видимо, даже достигнув полюса, мы будем обязаны даже в этой точке явным образом как бы повернуть вектор до его исходного положения. Действительно, поворачивая при переносе вектор во всех предыдущих случаях, почему мы вдруг должны прекратить его поворот в исходное положение? Кстати, это следует все-таки уточнить. На самом деле во всех этих случая собственно поворота нет – есть строго параллельный перенос. Длинной стрелкой 5 показано, что при любом подъеме широты вплоть до полюса, наивысшей параллели вектор в каждой точке всегда совпадает с меридианом.

Здесь следует обратиться к похожей ситуации из геометрии, рис.3. Рассмотрим кривую с изломом в точке B. Построим семейство касательных к этой кривой. Очевидно, что в точке изгиба перед нами встанет вопрос: в какую сторону направлена касательная и существует ли она вообще?

Рис.3 Касательные к линии с изломом

Если рассуждать строго, то точка B – это точка, определенно принадлежащая нашей кривой, поэтому касательная, видимо, должны быть. Но кривая состоит из двух отрезков. Если бы мы точно знали, какому из них принадлежит точка B, то вопросов не возникло бы. Но в этом, собственно, и состоит ответ. Нам нужно просто определиться, точка B – это единственная точка, или это две точки, принадлежащие каждому из отрезков? Сделать это просто: нужно задать интервалы, которые и укажут, какому из отрезков эта точка принадлежит. Видимо, соломоново решение с удвоением точки здесь вряд ли уместно, поскольку создаёт неопределенность, двусмысленность. Пусть точка B принадлежит правому отрезку. Тогда с касательной всё ясно. В этой точке она принадлежит семейству остальных касательных к родительскому участку кривой. При переходе через эту точку мы, соответственно, переходим к семейству касательных другого отрезка линии. Как видим, никаких двусмысленностей и противоречий нет. При этом мы можем определенно заявить: касательная к точке B – единственная. Если мы будет последовательно строить касательные к левой половине линии, то мы никогда не сможем заявить: вот эта касательная – в точке B, мы не имеем права, поскольку точка B этому отрезку не принадлежит.

Теперь вернёмся к нашей сфере. Движение по квадратному контуру нам отчетливо показало, что конечная точка – это не удвоенная точка полюса, это две разные точки. Устремив к нулевому пределу верхнюю параллель, мы, в конечном счете, максимально сблизили эти точки, но они всегда были и остались разными. Следовательно, в треугольнике мы тоже должны отдавать себе отчет, что вернувшийся к полюсу вектор в первоначальной трактовке в исходное положение не вернулся! Он по-прежнему находится на линии правой стороны сферического треугольника. Чтобы его вернуть в исходное положение, мы обязаны последовательно перемещать его по меридианам, то есть, просто-напросто поворачивать в исходное положение. Действительно, точка полюса – это не одна точка. Но мы вопреки этому считаем, что точка изгиба – полюс сферы – может принадлежать только одной линии. По определению, изначально мы его "прикрепили" к левой стороне сферического треугольника, а после обхода контура – к правой стороне. На самом деле в этой точке пересекается множество меридианов, каждый из которых имеет собственную точку на полюсе. Без разрыва меридианов на полюсе устранить его многозначность нельзя, но такой разрыв меридианов логического оправдания не имеет, это весьма искусственный, ничем не обоснованный приём. Если мы переходим на полюсе с крайнего правого меридиана на крайний левый, то есть, в исходное положение, то мы фактически "шагаем" по полюсным точкам каждого меридиана и, соответственно, должны в эти моменты изменять направление переносимого вектора. А не переходить мы не имеем права – исходная точка, в которую мы, как считается, вернули переносимый вектор, находится на левом меридиане. Действительно, на каком основании можно заявить, что на полюсе вектор имеет направление именно этого меридиана? Таких оснований нет.

Рассмотрим детальнее ещё два примера обоснования изменения направления вектора при его параллельном переносе. Обратимся ещё раз к примеру, приведённому в работе [4].

"К тензору кривизны, введенному ранее коммутацией вторых ковариантных производных, можно прийти другим путем, рассматривая параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор

из произвольной точки A в точку D вдоль различных сторон параллелограмма (см. рис.1.6), можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями:

Рис.1.6. Введение тензора кривизны посредством параллельного переноса вектора (тензора) по замкнутому контуру" [4, с.67].

Обратим внимание на то, что рисунок можно рассматривать двояко: как 2-мерное пространство и как пространство 3-мерное. Для наглядности мы внесли небольшие коррективы в оригинальный рисунок: добавили голубоватый фон плоскости перемещения векторов, а для демонстрации трёхмерности пространства продлили вектора под плоскость пространства.

Теперь с целью получения результатов в самом общем виде, рассмотрим оба этих варианта. Поскольку изображение на рисунке направления вектора изменённым мы считаем произволом, так сказать, рисованием "на глазок", рассмотрим другой, аналогичный вариант рисунка, на который нанесём параллели или меридианы, кому какое название больше понравится. Наличие этих линий лишит нас возможности для произвольного выбора направлений векторов. Такой рисунок-аналогию можно представить в следующем вид: