Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики: читать начало книги онлайн

Общепринято выражать такие взаимоотношения при помощи математических символов. При таком способе мы не привносим в них ничего существенно нового. Используя математические символы, мы выражаем именно то, что мы хотели бы сказать словами, но более кратко и более общо. Математика — язык стенографии, в котором каждый символ имеет точное и согласованное значение. Как только язык изучен, мы понимаем, что это, в конце концов, всего лишь одна из форм английского языка.

Например, мы только что рассмотрели случай ускорения 4 фт/с2 (из состояния покоя). Это означает, что в конце первой секунды скорость объекта равна 4 фт/с, после двух секунд — 8 фт/с, после трех секунд — 12 фт/с и так далее. Короче говоря, скорость равна ускорению, умноженному на время. Если мы обозначим скорость символом v, а время — символом t, мы можем сказать, что в этом случае v равна 4t.

Но фактическое ускорение зависит от угла, под которым отклонена наклонная плоскость. Если наклонная плоскость сделана более крутой, это приведет к увеличению ускорения; если сделать ее менее крутой, то ускорение уменьшится. Для любой данной плоскости ускорение постоянно, но специфическое значение константы может очень измениться от плоскости к плоскости. Позвольте нам поэтому не привязываться к конкретному числовому значению ускорения, давайте просто обозначим это ускорение символом а. Тогда мы можем сказать:

Важно помнить, что такие уравнения в физике включают в себя не только числа, но и единицы измерения. Таким образом, а в уравнении 2.1 не представляет собой число, например, скажем, 4, а представляет собой число и его единицы измерения — 4 фт/с2 — единицы измерения, соответствующие ускорению. Так же и t, которым обозначают время, представляет собой число и его единицы измерения, например три секунды (3 с). Рассчитывая at, мы умножаем 4 фт/с2 на 3 с, перемножая единицы измерения так же, как цифры. Преобразовывая единицы измерения так, как если бы они были дробями (другими словами, как если бы мы должны были умножить a/b2 на b), получаем произведение, равное 12 фт/с. Таким образом, умножение ускорения (а) на время (t) действительно дает нам скорость (v), а полученные единицы измерения фт/с, соответствующие скорости, подтверждают правильность нашего преобразования.

В любом уравнении в физике единицы измерения, находящиеся по обеим сторонам знака равенства, должны быть сбалансированы после того, как закончены все необходимые алгебраические преобразования. Если этот баланс не получен, то уравнение не соответствует действительности и не может быть названо верным. Если единицы измерения какого-либо из символов неизвестны, они могут быть определены посредством решения того, какой единицы недостаточно для того, чтобы сбалансировать уравнение (это иногда еще называют «анализом размерностей»).

Теперь, учитывая все предыдущее, рассмотрим шар, начинающий движение из состояния покоя и катящийся вниз по наклонной плоскости в течение t секунд. Так, шар начинает свое движение из состояния покоя, его скорость в начале временного интервала равна 0 фт/с. Согласно уравнению 2.1, в конце временного интервала во время / его скорость v равна at фт/с. Чтобы получить среднюю скорость на всем временном интервале равномерного увеличения скорости, мы берем сумму первоначальной и заключительной скорости (0 + at) и делим ее на 2. Таким образом, средняя скорость в течение временного интервала равна at/2. Расстояние (d), которое прошел шар за это время, должно быть равно средней скорости, умноженной на время, то есть at/2xt. Поэтому мы можем написать, что

Я не буду пытаться проверять единицы измерения для каждого представленного в книге уравнения, но сделаю это для данного. Единицы измерения ускорения (а) — фт/с2, а единицы измерения времени (t) — с (секунды). Поэтому итоговые единицы измерения равны at2 — (фт/с2) ∙ с ∙ с, то есть (фт∙с2)/с2, упростив это выражение, получаем просто фт (футы). От деления на 2 at2 не изменяется, так же как с2, так как 2 в этом случае — «чистое число», то есть оно не имеет единиц измерения. (Так же как, если вы делите линейку длиной в фут на два, каждая половина имеет длину 12 дюймов, разделенных на 2 или на 6 дюймов. На единицу измерения это же не оказывает эффекта.) Таким образом, получающиеся единицы измерения at2/2 — фт (футы), что соответствует единицам, применяемым для измерения расстояния (d)[7].

Свободное падение

Как я сказал ранее, значение ускорения (а) шара, катящегося вниз по наклонной плоскости, изменяется в соответствии с углом наклона плоскости. Чем более крутая плоскость, тем больше значение а.

В результате экспериментов показано, что для данной наклонной плоскости значение а находится в прямой пропорциональной зависимости от отношения высоты поднятого конца плоскости к длине плоскости. Если вы обозначите высоту поднятого конца плоскости как Н, а длину плоскости как L, то предыдущее предложение можно выразить в математических символах как а ∞ gH/L. Где символ ∞ означает «находится в прямой пропорциональной зависимости от».

В такой прямой пропорции значение выражения на одной стороне изменяется в точном соответствии со значением выражения на другой стороне. Если H/L удваивается, то удваивается и а; если H/L делится пополам, то пополам делится и а; если H/L умножают на 2,529, то и а умножается на 2,529. Такой подход предполагается прямой пропорциональностью. Но предположите, что для некоего значения а значение H/L оказывается равным одной трети a. Если значение а изменяется каким-либо способом, значение H/L изменяется точно таким же способом, так что оно все равно остается равным третьей части значения а. В этом специфическом случае а — в три раза больше H/L, причем не только для этого набора значений, а для всех значений вообще.

Общее правило таково: если один член пропорции x находится в прямой пропорциональной зависимости от другого члена y, мы всегда можем заменить знак отношения на знак равенства, введя некоторое соответствующее постоянное значение (называемое «коэффициентом пропорциональности»), на которое нужно умножить у, чтобы получить х. Обычно вначале мы не знаем точное значение коэффициента пропорциональности. Так что имеет смысл обозначить его некоторым символом. Этот символ обычно k (от немецкого слова «Konstant»). Поэтому мы можем сказать, что если (x ~ y), то x = ky.

Нет никакой абсолютной необходимости использовать в качестве символа для коэффициента пропорциональности именно k. Например, скорость шара, катящегося из состояния покоя, находится в прямой пропорциональной зависимости от времени t, в течение которого он катился, а расстояние, на которое он переместился, d находится в прямой пропорциональной зависимости от квадрата того же времени; поэтому v ~ t и d = (at2)/2. В первом случае» однако, мы приняли для коэффициента пропорциональности специальное название — «ускорение» — и обозначили его a, в то время как во втором случае взаимосвязь с ускорением такова, что мы обозначили коэффициент пропорциональности как a/2. Таким образом, мы имеем, что v = at и d = (at2)/2.

В случае, который мы сейчас рассматриваем, значение ускорения a находится в прямой пропорциональной зависимости от H/L, коэффициент пропорциональности удобно символизировать буквой g. Поэтому мы можем сказать:

Обе величины — H и L измерены в футах. При делении H на L футы делятся на футы и единицы измерения пропадают. В результате мы имеем то, что отношение H/L является «чистым» числом и не привязано ни к каким единицам измерения. Но единицы измерения ускорения (g) — фт/с2. Чтобы поддержать баланс единиц измерения в уравнении 2.3, необходимо, чтобы единицы измерения g также были фт/с2, потому что H/L не вносит в уравнения никаких единиц измерения. Из этого мы можем заключить, что коэффициент пропорциональности g в уравнении 2.3 имеет единицы измерения как у ускорения и поэтому должен представлять собой ускорение.

Для того чтобы понять, что это значит, поднимаем выше один конец наклонной плоскости; чем более крутой мы делаем данную наклонную плоскость, чем больше высота ее поднятого конца, тем больше значение H. Длина же наклонной плоскости (L), конечно, не изменяется. Наконец, когда плоскость встала совершенно вертикально, высота поднятого конца равна полной длине плоскости, то есть H равняется L, a H/L равняется 1.

Шар, катящийся вниз по совершенно вертикальной наклонной плоскости, фактически находится в состоянии свободного падения. Таким образом, в свободном падении H/L равно 1, и уравнение 2.3 приходит к виду:

Все сказанное выше показывает нам на то, что g — не просто ускорение, а специфическое ускорение, которому подвергается тело, находящееся в свободном падении. Тенденция тел — иметь вес и падать на землю — результат свойства называемого «тяжестью» («gravity») (от латинского слова «тяжелый», поэтому для обозначения ускорения свободного падения используется символ «g»).

Если измерить действительное ускорение тела, катящегося вниз по любой данной наклонной плоскости, то можно получить цифровое значение g. Уравнение 2.3 может быть преобразовано в g = aL/H. Для данной наклонной плоскости можно легко измерить длину (L) и высоту (H) поднятого конца и, зная a, можно сразу определить g. Его значение оказывается равным 32 фт/с2 (по крайней мере, на уровне моря).

До этого места я в целях поддержания дружественных отношений использовал в качестве меры расстояния футы. Это — одна из общепринятых единиц измерения расстояния, используемых в Соединенных Штатах и Великобритании, и мы привыкли к ним. Однако ученые во всем мире используют метрическую систему мер, и мы уже достаточно далеко зашли в изучение предмета, чтобы, как мне кажется, быть способными присоединиться к ним в этом.

Ценность метрической системы в том, что ее различные единицы измерения связаны между собой простыми и логическими отношениями. Например, в обычной системе 1 миля равна 1760 ярдам, 1 ярд равен 3 футам и 1 фут равен 12 дюймам. Преобразование одной единицы измерения в другую — всегда трудная рутинная работа.

В метрической системе единица измерения расстояния — метр. Другие единицы измерения расстояния получаются путем умножения метра на 10 или на число, кратное 10. Благодаря такой системе написания чисел преобразование одной единицы измерения в другую в пределах метрической системы может быть выполнено простым изменением положения десятичной запятой.

Кроме того, в наборе используются стандартизированные префиксы — приставки. Приставка «деци-» всегда подразумевает ¹/₁₀ стандартной единицы измерения, так что дециметр — ¹/₁₀ метра. Приставка «гекто-» всегда подразумевает увеличение в 100 раз стандартной единицы измерения, так что гектометр — 100 метров. То же самое действительно и для других приставок.

Сам метр имеет длину 39,37 дюйма. Это делает его эквивалентом примерно 1,09 ярда, или 3,28 фута, две другие метрические единицы измерения, наиболее часто используемые в физике, — сантиметр и километр. Приставка «санти-» подразумевает ¹/₁₀₀ стандартной единицы измерения, так что сантиметр — ¹/₁₀₀ метра. Он эквивалентен 0,3937 дюйма, или приблизительно ²/₅ дюйма. Приставка «кило-» подразумевает 1000-кратное увеличение стандартной единицы измерения, так что километр равен 1000 метрам, или 100 000 сантиметрам. Длина километра — 39,370 дюйма, то есть примерно ⁵/₈ мили. Сокращения, обычно используемые для метра, сантиметра и километра, — это м, см и км соответственно.

Секунды, как основная единица измерения времени, используются в метрической системе так же, как и в обычной системе. Поэтому, если мы хотим выразить ускорение в метрических единицах измерения, мы должны использовать для этой цели «метры в секунду за секунду», или м/с2. Так как 3,28 фута равняется 1 метру, мы делим 32 фт/с2 на 3,28 и получаем, что в метрических единицах измерения значение g равно 9,8 м/с2.

Еще раз напомню о важности единиц измерения. Неправильно и некорректно говорить, что «значение g нравно 32» или «значение g равно 9,8». Отдельно взятое число не имеет в этой связи никакого значения. Нужно говорить или 32 фт/с², или 9,8 м/с².

Эти два последних значения абсолютно эквивалентны. Числовые части выражения могут быть различны, когда мы берем их самих по себе, но когда мы добавляем единицы измерения, они становятся идентичными величинами. Ни одна из них ни в коем случае не «более истинна» или «более точна», чем другая; выражение в метрических единицах измерения просто более удобно.

Мы всегда должны знать, какие единицы измерения используются. При свободном падении a равно g, так что уравнение 2.1 может быть написано (v = 32t), если мы используем обычные единицы измерения, и (v = 9,8t), если мы используем метрические единицы измерения. При записи уравнений в краткой форме единицы измерения не включаются, поэтому всегда имеется шанс некоей путаницы. Если вы попробуете использовать обычные единицы измерения в уравнении (v = 9,8t) или метрические единицы измерения в уравнении (v = 32t), вы получите результаты, которые не соответствуют действительности. По этой причине правила процедуры должны быть совершенно ясными и однозначными. В данной книге, например, впредь будет считаться само собой разумеющимся, что везде используется метрическая система, кроме тех случаев, когда я специально обговариваю иное.

Таким образом, мы можем сказать, что для тел, находящихся в состоянии свободного падения, из стартового состояния покоя:

Таким же образом, для такого тела уравнение 2.2 становится:

[7] Или, как его еще называют, — «перемещения». (Примеч. пер.)