Математика. Поиск истины.: читать книгу онлайн полностью и бесплатно

Беркли жаждал во что бы то ни стало подорвать веру в непогрешимость математики, и он был достаточно искушен, чтобы нанести удар по самому уязвимому месту. Основным понятием дифференциального исчисления было понятие мгновенной скорости приращения функции. Но как надлежит понимать мгновенную скорость приращения — здесь мнения расходились; и Ньютон, и Лейбниц излагали это понятие недостаточно вразумительно. Именно на него и обрушился Беркли (не без основания и с полной убежденностью в своей правоте). В своем сочинении «Аналитик, или рассуждение, адресованное одному неверующему математику [Эдмонду Галлею], где исследуется, являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры» (1734) Беркли негодующе вопрошал:

То, что дифференциальное исчисление, несмотря на трудности, связанные с введением новых понятий, уже доказало свою полезность, Беркли объяснял всего лишь тем, что допущенные ошибки удачно компенсировали друг друга. Критикуя математический анализ, обоснованием которого занимались его современники, Беркли в действительности не отвергал все истины о реальном мире, открытые математикой. Он лишь хотел заставить своих оппонентов призадуматься, подвергнув критике слабое место в их обороне. Суть своей философии Беркли выразил словами:

Но даже сам Беркли не смог избежать — эпизодических вылазок в тот самый внешний мир, существование которого он отрицал. В своей последней работе под названием «Сейрис, или цепь философских размышлений, касающихся достоинств дегтярной настойки и разных других предметов, связанных друг с другом и возникающих один из другого» Беркли настоятельно рекомендовал дегтярную настойку как средство от оспы, чахотки, подагры, плеврита, астмы, несварения желудка и многих других болезней. Впрочем, такие временные отходы от занимаемой позиции вряд ли следует ставить в вину Беркли. Всякий, кто заглянет в его сочинение «Три разговора между Гиласом и Филонусом», убедится, сколь искусно и с каким блеском он отстаивает свою философию.

Крайние взгляды Беркли на материю и разум породили известную шутку: «Что такое материя? — Не нашего ума дело. Что такое ум? — Не наша эта материя». Лишая материализм материи, Беркли полагал, что тем самым он отвергает и внешний мир.

Казалось, вряд ли можно высказываться более радикально по вопросу об отношении человека к внешнему миру, чем это делал Беркли. Но по мнению шотландского философа-скептика Дэвида Юма (1711-1776), Беркли ушел не так уж далеко, если Беркли признавал мыслящий разум, в котором существовали ощущения и идеи, то Юм отрицал и разум. В своем «Трактате о человеческой природе, или попытке применить основанный на опыте метод рассуждения к моральным предметам» (1739-1740) Юм утверждал, что мы не знаем ни разума, ни материи. И то и другое — лишь фикции, не воспринимаемые нами. Воспринимаем же мы впечатления (ощущения) и идеи — образы, воспоминания, мысли, — но все эти три разновидности воспринимаемого не более чем слабые отголоски впечатлений. Разумеется, впечатления и идеи подразделяются на простые и сложные, но сложные впечатления есть не что иное, как комбинации простых впечатлений. Наш разум, по утверждению Юма, тождествен набору наших впечатлений и идей и представляет собой лишь удобный термин для обозначения такого набора.

По вопросу о материи Юм разделял мнение Беркли. Кто гарантирует нам бытие перманентно существующего мира телесных объектов? Все, что мы знаем, — это наши чувственные впечатления о таком мире. Соединяя идеи по сходству и располагая их в определенной последовательности, память упорядочивает мир идей так же, как сила тяжести устанавливает порядок во внешнем мире. Пространство и время — всего лишь способ и порядок, в котором являются нам идеи. Ни пространство, ни время не есть объективные реальности. Сила и прочность наших идей вводят нас в заблуждение, заставляя верить в такие реальности.

Вывод о существовании внешнего мира с неизменными свойствами ничем не обоснован. Нет оснований полагать, будто существует что-нибудь кроме впечатлений и идей, ничему не соответствующих и ничего не представляющих. Следовательно, не может быть и научных законов, относящихся к перманентному объективному внешнему миру; то, что мы называем такими законами, — не более чем удобное обозначение для некоторой суммы впечатлений. У нас нет способа узнать, повторятся ли те последовательности впечатлений, которые мы наблюдали. Мы сами представляем собой всего лишь разрозненные наборы восприятий, т.е. впечатления и идей. Мы существуем только в этом смысле. При любой попытке с нашей стороны воспринять самих себя мы доходим лишь до восприятия. Для любого человека все остальные люди и предполагаемый внешний мир — всего лишь восприятия, и нет гарантии, что они действительно существуют.

Лишь одно препятствие стояло на пути всепроникающего скептицизма Юма — существование общепризнанных истин самой математики. Просто отмахнуться от них Юм не мог, и ему не оставалось ничего другого, как попытаться принизить ценность математических истин. По мнению Юма, теоремы чистой математики — это излишние утверждения, ненужные повторения одного и того же различными способами. То, что дважды два — четыре, не ново. В действительности дважды два — всего лишь иной способ записать или назвать устно число «четыре». Следовательно, и это, и другие утверждения арифметики — не более чем тавтология. Что же касается теорем геометрии, то они представляют собой повторения в более сложной форме аксиом, в которых в свою очередь не больше смысла, чем в утверждении о том, что дважды два — четыре.

В своем «Трактате о человеческой природе» Юм скептически отозвался о силе разума как орудия для рационального объяснения:

Опыт может подсказать причину и действие, следствие, но основанное на опыте убеждение лишено рациональной основы. Убеждение разумно только в том случае, если его отрицание логически противоречиво, но ни одно убеждение, к которому нас приводит опыт, не отвечает этому требованию. Подлинной науки о перманентном и объективном мире не существует; наука чисто эмпирическая.

Общую проблему познания физического мира Юм решает, отрицая самую возможность получения истин о нем. Ни теоремы математики, ни существование Бога, ни существование внешнего мира, причинности, природы, ни чудеса истинами не являются. Так Юм с помощью разума разрушил то, что было создано разумом, подчеркивая в то же время ограниченность возможностей последнего.

Окончательный вывод всей философии Юма — отрицание им наивысшей способности человека, способности познания мира, — большинство мыслителей XVIII в. восприняло весьма неодобрительно. Слишком велики были достижения математики и другие проявления человеческого разума, чтобы от них так легко отказаться. Иммануил Кант (1724-1804) без обиняков выразил свое непринятие необоснованного расширительного толкования Юмом теории познания Локка: разум должен снова занять подобающее ему место. Кант не сомневался, что человек располагает идеями и истинами, представляющими нечто большее, нежели простое соединение чувственного опыта.

Тем не менее при тщательном изучении итог размышлений Канта оказался не столь обнадеживающим. В своем сочинении «Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука» (1783) Кант писал:

В «Критике чистого разума» (1781) Кант приходит к более утешительному выводу, признавая истинами все аксиомы и теоремы математики. Почему, спрашивает себя Кант, мы столь охотно приемлем эти истины? Сам по себе опыт не может служить оправданием нашей готовности к признанию математических истин. Ответить на поставленный вопрос, по мнению Канта, можно лишь после того, как будет найден ответ — на более общий вопрос: как возможна сама наука математика?

Кант избрал совершенно новый подход к проблеме получения человеком истинного знания. Первый его шаг состоял в том, чтобы провести различие между двоякого рода суждениями, дающими знание. Суждения первого рода Кант называл аналитическими; они не дают нового знания. Примером может служить суждение «Все тела протяженны». Оно лишь констатирует в явном виде свойство, присущее всем телам в силу того, что это — тела, и не сообщает нам ничего нового. Суждения второго рода, выводимые каким-то образом нашим разумом независимо от опыта, Кант называл априорными.

По мысли Канта, опыт не может быть единственным источником истины, ибо опыт — лишь пестрая смесь ощущений, в которую не привнесены ни рациональное начало, ни организация. Следовательно, сами по себе наблюдения не дают истин. Истины, если они существуют, должны быть априорными суждениями. Кроме того, чтобы быть подлинным знанием, истины должны быть синтетическими суждениями — давать новое знание.

За убедительным примером не нужно ходить далеко: он в совокупности математического знания. Почти все аксиомы и теоремы математики Кант относит к априорным синтетическим суждениям. Утверждение о том, что прямая — это кратчайшее расстояние между двумя точками, заведомо синтетическое, ибо сочетает в себе две идеи — прямолинейности и кратчайшего расстояния, ни одна из которых не выводима из другой. Вместе с тем это суждение априорно, так как никакой опыт с прямыми и никакие измерения не могли бы убедить нас в том, что перед нами неизменная универсальная истина, какой считал это утверждение Кант. Таким образом, Кант не сомневался, что люди обладают априорными синтетическими суждениями, т.е. подлинными истинами.

Кант попытался пойти дальше. Почему, спросил он себя, мы с такой готовностью принимаем за истину утверждение о том, что прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками? Откуда нашему разуму известны такие истины? Ответить на этот вопрос мы могли бы, если бы знали ответ на вопрос, как возможна сама математика. Кант полагал, что формы пространства и времени присущи нашему разуму независимо от опыта. Он называл эти формы созерцаниями, считая их чисто априорными средствами познания, не основанными ни на опыте, ни на логическом рассуждении. Так как созерцание пространства априори присуще разуму, некоторые аксиомы о пространстве постигаются разумом непосредственно, и геометрии остается лишь извлекать логические следствия из этих аксиом. Законы пространства и времени, законы разума предшествуют познанию реальных явлений, делая его возможным. По словам Канта, «всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу».

Мы воспринимаем, организуем и постигаем опыт в соответствии с теми формами мысли, которые присущи нашему разуму. Опыт попадает в них, словно тесто в форму. Рассудок отпечатывает их на воспринятых чувственных впечатлениях, вынуждая ощущения подстраиваться под априорные формы мысли. Поскольку созерцание пространства присуще разуму, он автоматически постигает некоторые формы пространства. Такие постулаты геометрии, как «прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками» или «через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну», а также аксиома Евклида о параллельности, которые Кант называл априорными синтетическими суждениями, являются частью «оснащения» нашего разума. Геометрия как наука занимается изучением логических следствий из этих постулатов. Тот факт, что рассудок воспринимает опыт в понятиях «пространственной структуры», предопределяет согласие опыта с исходными аксиомами, постулатами и теоремами геометрии.

Поскольку Кант строил пространство из клеток человеческого мозга, он не видел оснований для того, чтобы не сделать это пространство евклидовым. Неспособность представить себе другую геометрию, убедила его в том, что таковой просто не существует. Утверждая истинность евклидовой геометрии, он в то же время доказывал существование априорных синтетических суждений. По Канту, законы евклидовой геометрии не присущи внешнему миру, а сам мир не задуман Богом так, чтобы в нем выполнялась евклидова геометрия. Законы геометрии — это механизм, позволявший человеку привносить в ощущения организацию и рациональное начало. Что же касается Бога, то, по утверждению Канта, природа божественного лежит за пределами рационального знания, но мы должны верить в Бога. Но при всей дерзости Канта в философии его суждения о геометрии были весьма опрометчивы: прожив почти безвыездно в своем родном городе Кенигсберге [ныне Калининград] в Восточной Пруссии, Кант тем не менее вздумал определить геометрию мира.

Каких взглядов придерживался Кант относительно математических законов естествознания? Поскольку весь опыт воспринимается через мыслительные схемы пространства и времени, математика должна быть применима ко всему опыту. В «Метафизических начальных основаниях естествознания» (1787) Кант трактует законы Ньютона и следствия из них как самоочевидные. Он утверждает, будто ему удалось доказать, что первый закон Ньютона может быть выведен из чистого разума и что этот закон — единственное допущение, при котором природа может быть познана человеческим разумом.

В более общем плане Кант полагал, что мир науки есть мир чувственных впечатлений, упорядоченных и управляемых рассудком в соответствии с такими врожденными категориями, как пространство, время, причина, действие и субстанция. Наш разум как бы обставлен мебелью, в которой с удобством могут расположиться гости. Чувственные впечатления поступают из внешнего мира, но этот мир, к сожалению, непознаваем. Реальность может быть познана только в субъективных категориях познающего разума. Следовательно, невозможен иной способ организации опыта, чем геометрия Евклида и механика Ньютона.

Согласно Канту, по мере расширения опыта и возникновения новых наук, разум не формулирует новые принципы путем обобщения нового опыта: для интерпретации последнего лишь включаются дополнительные, ранее не использовавшиеся области рассудка. Способность разума к пониманию возрастает с накоплением опыта. По этой причине одни истины (например, законы механики) постигаются позже других, известных на протяжении столетий.

Кант утверждал также, что мы не можем надеяться приобрести достоверное знание на основании одного лишь чувственного знакомства с объектами. Мы никогда не познаем реальные вещи в себе. Но если мы способны познать что-нибудь достоверно, то это должно быть результатом процесса, происходящего в нашем рассудке при изучении данных, полученных из внешнего мира.

Философия Канта, которую мы обрисовали лишь в самых общих чертах, — это прославление разума, однако Кант приписал ему роль исследователя не природы, а сокровенных тайн человеческой души. Опыт Кант признавал лишь как необходимый элемент познания, так как ощущения, вызываемые внешним миром, поставляют «сырой материал», организуемый рассудком. Математика обрела в философии Канта свое место открывателя непреложных законов разума.

Из приведенного нами беглого очерка теории познания Канта видно, что существование математических истин он сделал краеугольным камнем своей философии. В частности, Кант опирался на истины евклидовой геометрии. Увы! Созданная в XIX в. неевклидова геометрия опровергла все аргументы Канта,

Несмотря на превосходную философию Канта и признание его работ, наиболее знаменитый из английских философов XIX в. Джон Стюарт Милль (1806-1873) вернулся к взглядам Юма, несколько видоизменив их. Милль был позитивистом: он утверждал, что, хотя знание в основном проистекает из опыта, оно включает также соотношения, формулируемые познающим разумом относительно чувственных данных. Доказать существование внешнего мира невозможно, но в равной мере невозможно доказать, что внешний мир не существует.

Под внешним объектом мы понимаем нечто существующее независимо от того, мыслим мы его или нет, остающееся неизменным, даже если вызываемые им ощущения изменяются, и общее для многих наблюдателей, хотя испытываемые ими ощущения могут отличаться. По Миллю, представление о внешнем мире в любой момент времени лишь в малой степени состоит из реальных ощущений, а в основном — из возможных ощущений (не тех, которые некто испытывает, а тех, которые он испытал бы, двигаясь или поворачивая голову). Материя есть то, — что может перманентно порождать ощущения. Память, согласно Миллю, также играет некую роль в познании такого типа.

Внешний мир мы познаем только через ощущения. Такое знание несовершенно, и нам неведомы его точные границы и протяженность. Простые идеи, рожденные ощущениями, наш разум комбинирует в сложные; такое знание номинально, но не существенно. Знание, добытое методом индукции, не достоверно, а лишь вероятно, но это — все, чем мы располагаем в науке и можем руководствоваться в жизни.

Как считал Милль, наши умозаключения в математике, например в евклидовой геометрии, необходимы только в том смысле, что они следуют из исходных допущений. Однако сами исходные допущения (аксиомы) основаны на наблюдениях и представляют собой обобщения опыта. Арифметика и алгебра также основаны на опыте. Выражения 2 + 2 = 3 + 1 = 4 являются психологическими обобщениями. Алгебра же есть не что иное, как более абстрактное продолжение таких обобщений.